Question

3*6^x-1 +9*2^x+2 - 12^x - 18=0 Помогите решить!!!!

Answer 1

Сделаем замену. Пусть  $3^x=a;~2^x=b(a,b\ \textgreater \ 0)$, получим
$0.5ab+36b-ab^2-18=0\\ 0.5(-ab(2b-1)+36(2b-1))=0\\ 0.5(2b-1)(36-ab)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$2b-1=0;~~~\Rightarrow~~~b=0.5;\\ 36-ab=0;~~~ \Rightarrow ab=36$

Возвращаемся к обратной замене
$2^x=0.5;~~~\Rightarrow~~~2^x=2^{-1};~~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_1=-1}\\ \\ 2^x\cdot 3^x=36;~~~\Rightarrow~~~6^x=6^2;~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_2=6}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение относительно переменной x. Уравнение имеет вид:

$3 \cdot 6^x - 1 + 9 \cdot 2^x + 2 - 12^x - 18 = 0.$

Давайте начнем поочередно упрощать его:

1. $3 \cdot 6^x + 9 \cdot 2^x - 12^x = 17^x + 9 \cdot 2^x - 12^x.$
2. $17^x + 9 \cdot 2^x - 12^x = 17^x + 9 \cdot 2^x - (2^x)^2 \cdot 6^x.$
3. $17^x + 9 \cdot 2^x - (2^x)^2 \cdot 6^x = 17^x + 9 \cdot 2^x - 2^{2x} \cdot 6^x.$
4. $17^x + 9 \cdot 2^x - 2^{2x} \cdot 6^x = 17^x + 9 \cdot 2^x - (2 \cdot 3^x)^2.$

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

$17^x + 9 \cdot 2^x - (2 \cdot 3^x)^2 - 17 = 0.$

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить уравнение еще больше. Обозначим $y = 2^x$, тогда $2 \cdot 3^x = 2 \cdot (2/3)^x = 2 \cdot (2/3)^{\log_{2} y} = 2 \cdot y^{\log_{2} (2/3)}$.

Подставим это в уравнение:

$17^x + 9y - 4y^2 - 17 = 0.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $y$:

$4y^2 - 9y + 17^x - 17 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить используя квадратную формулу:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Где в нашем случае $a = 4$, $b = -9$, $c = 17^x - 17$.

После нахождения $y$, мы сможем вернуться к исходной переменной $x$ с помощью $y = 2^x$.

Пожалуйста, обратите внимание, что это уравнение достаточно сложное и может не иметь аналитического решения в виде выражения с известными функциями. Вероятно, понадобится численное решение с использованием методов численного анализа или компьютерных программ.