Question

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y= x^3\х-2 и y=x^2-3x+1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=x/x-3 и y=3x-4/2x

Answer 1

1) Найти координаты точек пересечения графиков функций 
    y= x³/(х-2) и y=x²-3x+1.
    Приравниваем  x³/(х-2) = x²-3x+1.
    х³ = х³-2х²-3х²+6х+х-2.
    Получаем квадратное уравнение:
    5х²-7х+2 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x:     Ищем дискриминант:
    D=(-7)^2-4*5*2=49-4*5*2=49-20*2=49-40=9;    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
    x₁=(√9-(-7))/(2*5)=(3-(-7))/(2*5)=(3+7)/(2*5)=10/(2*5)=10/10=1;
    у₁ = 1/(1-2) = -1.    x₂=(-√9-(-7))/(2*5)=(-3-(-7))/(2*5)=(-3+7)/(2*5)=4/(2*5)=4/10=0,4.
    у₂ = 0.064/(0,4-2) = -0,04.
    Имеем 2 точки пересечения:
    (1; -1) и (0,4; -0,04).

2) Найти координаты точек пересечения графиков функций     y=x/(x-3) и y=(3x-4)/2x.
    Приравниваем x/(x-3) = (3x-4)/2x.
    2х² = 3х²-4х-9х+12,
    Получаем квадратное уравнение:
    х²-13х+12 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x:     Ищем дискриминант:
     D=(-13)^2-4*1*12=169-4*12=169-48=121;     Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
     x₁ = (√121-(-13))/(2*1)=(11-(-13))/2=(11+13)/2=24/2=12;
     у₁ = 12/(12-3) = 12/9 = 4/3.     x₂=(-√121-(-13))/(2*1)=(-11-(-13))/2=(-11+13)/2=2/2=1.
     у₂ = 1/(1-3) = -1/2.
    Имеем 2 точки пересечения: (12; (4/3)) и (1; (-1/2)).

Answer 2

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций, нужно приравнять выражения для y и решить уравнение относительно x. После нахождения x можно подставить его в одно из уравнений для y и получить соответствующее значение y.

1. Функции: 1.1. y = x^3 / (x - 2) 1.2. y = x^2 - 3x + 1

Для начала приравняем два выражения для y:

x^3 / (x - 2) = x^2 - 3x + 1

Умножим обе стороны уравнения на (x - 2), чтобы избавиться от знаменателя:

x^3 = (x - 2)(x^2 - 3x + 1)

Раскроем скобки:

x^3 = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x^2 + 6x - 2

Упростим:

0 = -3x^2 + 6x - 2

Для решения этого квадратного уравнения, можно воспользоваться дискриминантом:

D = b^2 - 4ac D = 6^2 - 4(-3)(-2) D = 36 - 24 D = 12

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

x = (-b ± √D) / 2a x = (-6 ± √12) / -6 x = (6 ± 2√3) / 6 x = 1 ± √3 / 3

Теперь, подставляя найденные значения x в любое из исходных уравнений для y, можно найти соответствующие значения y.

При x = (1 + √3) / 3:

y = (1 + √3)^3 / ((1 + √3) / 3 - 2) y = 3(2 + √3)

При x = (1 - √3) / 3:

y = (1 - √3)^3 / ((1 - √3) / 3 - 2) y = 3(2 - √3)

Итак, точки пересечения графиков функций это: (1 + √3 / 3, 3(2 + √3)) (1 - √3 / 3, 3(2 - √3))

2. Функции: 2.1. y = x / (x - 3) 2.2. y = (3x - 4) / (2x)

Аналогично, приравняем два выражения для y:

x / (x - 3) = (3x - 4) / (2x)

Уберем знаменатель в правой части, умножив обе стороны на 2x:

2x^2 = (3x - 4)(x - 3)

Раскроем скобки:

2x^2 = 3x^2 - 13x + 12

Переносим все в одну сторону:

0 = x^2 - 13x + 12

Для решения этого квадратного уравнения, также воспользуемся дискриминантом:

D = (-13)^2 - 4(1)(12) D = 169 - 48 D = 121

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

x = (-b ± √D) / 2a x = (13 ± √121) / 2 x = (13 ± 11) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x = 12 / 2 = 6 x = 24 / 2 = 12

Подставляя эти значения x в одно из исходных уравнений для y:

При x = 6:

y = 6 / (6 - 3) = 2

При x = 12:

y = (3 * 12 - 4) / (2 * 12) = 32 / 24 = 4 / 3

Итак, точки пересечения графиков функций это: (6, 2) (12, 4/3)