Question

Sin(x-y)/tgx-tgy=cosxcosy докажите тождество пожалуйста очень надо срочно !!!

Answer 1

Преобразуем знаменатель:

tg x - tg y=sin x/cos x - sin y/sin y=(sin xcos y - cos x sin y)/(cos x cos y)=
sin(x-y)/(cos x cos y)⇒
sin(x-y)/(tg x-tg y)=)sin(x-y)cos xcos y)/sin(x-y)=cos x cos y.
Тождество доказано.

Кстати, в следующий раз внимательнее пишите условие. Если подойти формально, у Вас синус делится только на первый тангенс, а не на разность тангенсов, а тогда тождества не получается 

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся базовыми тригонометрическими тождествами. Давайте начнем с левой стороны и преобразуем её:

Исходное тождество: $\frac{\sin(x - y)}{\tan(x) - \tan(y)} = \cos(x)\cos(y)$

Шаг 1: Раскроем разность синусов: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

Шаг 2: Заменим тангенсы через синусы и косинусы: $\tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \tan(y) = \frac{\sin y}{\cos y}$

Подставим это в знаменатель дроби: $\tan(x) - \tan(y) = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}$

Шаг 3: Упростим дробь в знаменателе: $\tan(x) - \tan(y) = \frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y}$

Теперь исходную дробь можно записать так: $\frac{\sin(x - y)}{\frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y}} = \cos(x)\cos(y)$

Шаг 4: Сократим синусы в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{\sin(x - y)}}{\frac{\cancel{\sin(x - y)}}{\cos x \cos y}} = \cos(x)\cos(y)$

Итак, левая сторона равна правой стороне исходного тождества, что и требовалось доказать:

$\frac{1}{\frac{1}{\cos x \cos y}} = \cos(x)\cos(y)$

$\cos x \cos y = \cos(x)\cos(y)$

Таким образом, тождество доказано.