Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел, используя первый замечательный предел: limx→0 (1 - cosx)/sin3x

Answer 1

$\lim\limits _{x\to 0} \frac{1-cosx}{sin3x} = \lim\limits _{x\to 0}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{sin3x} = 2\cdot \lim\limits _{x \to 0} \Big (\underbrace {\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}_{1}\cdot \underbrace {\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}_{1}\cdot \underbrace {\frac{3x}{sin3x}}_{1}\cdot \frac{(\frac{x}{2})^2}{3x}\Big )=\\\\=2\cdot \lim\limits _{n \to \infty} \frac{(\frac{x}{2})^2}{3}=2\cdot \lim\limits _{x \to 0} \frac{x^2}{12x} =2\cdot \lim\limits _{x \to 0} \frac{x}{12} =2\cdot 0=0$

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить этот предел, используя первый замечательный предел. Первый замечательный предел гласит:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Давайте воспользуемся этим пределом для решения вашей задачи. У вас дано:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin^3 x}.$

Мы можем преобразовать числитель следующим образом: $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$.

Теперь подставим это обратно в выражение:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^3 x}.$

Разделим числитель и знаменатель на $\sin^2 x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3}.$

Используем первый замечательный предел в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot 1^2}{1^3} = 2.$

Таким образом, предел

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin^3 x}$

равен 2.