Question

При яких значення параметра а сума квадратів коренів рівняння x^2-xa+4a=0 дорівнює 9

Answer 1

X^2 - ax + 4a = 0;
D = a^2 - 4*4a = a^1 - 16a>=0;
a∈(-∞; 0]∪[16; +∞); (*)
x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 - 2*x1*x2 = (a^2) - 2*4a = 9;
a^2 - 8a - 9 = 0;
D/4 = 4^2 + 9 = 16+9 = 25 = 5^2;
a1 = 4-5 = -1;
a2 = 4+5 = 9, последнее не удовлетворяет условию (*).
Ответ. a=-1.

Answer 2

Давайте спростимо задачу крок за кроком.

Маємо квадратне рівняння: $x^2 - xa + 4a = 0$.

Спочатку знайдемо корені цього рівняння. Для цього можемо використовувати квадратне рівняння загального вигляду $ax^2 + bx + c = 0$. В нашому випадку $a = 1$, $b = -a$, $c = 4a$.

Формула дискримінанту для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ має вигляд: $D = b^2 - 4ac$.

Підставляючи значення $a$, $b$, та $c$, отримуємо: $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4a = a^2 - 16a$.

Знаючи значення дискримінанту $D$, можемо знайти формулу для коренів рівняння: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Підставляючи значення $a$ і $D$, отримуємо: $x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a}}{2}$.

Сума квадратів коренів рівняння дорівнює $(x_1)^2 + (x_2)^2$. Підставляючи вирази для коренів, отримаємо:

$(x_1)^2 + (x_2)^2 = \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - 16a}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a - \sqrt{a^2 - 16a}}{2}\right)^2$.

Спростимо це вираз, розкриваючи квадрати та обчислюючи:

$(x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{1}{4}\left((a + \sqrt{a^2 - 16a})^2 + (a - \sqrt{a^2 - 16a})^2\right)$.

Проведемо обчислення для кожного доданка у дужках:

$(a + \sqrt{a^2 - 16a})^2 = a^2 + 2a\sqrt{a^2 - 16a} + (a^2 - 16a)$.

$(a - \sqrt{a^2 - 16a})^2 = a^2 - 2a\sqrt{a^2 - 16a} + (a^2 - 16a)$.

Підсумовуючи обидва доданки і помітивши, що деякі доданки скасовуються, отримуємо:

$(x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{1}{4}(2a^2 - 32a) = \frac{1}{2}(a^2 - 16a)$