Question

Выполните действия: a)1/1-i б)(1-2i)(2+i)/3-2i в)(3+2i)(2-i)/(2+3i)(1+i)

Answer 1

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное
      $\displaystyle \frac{1}{1-i}= \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1+i}{2}=0.5+0.5i$

2. Опять же умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное
  $\displaystyle \frac{(1-2i)(2+i)}{3-2i} = \frac{(1-2i)(2+i)(3+2i)}{13} =\\ \\ \\ = \frac{(2-3i+2)(3+2i)}{13}= \frac{(4-3i)(3+2i)}{13} = \frac{12-i+6}{13}= \frac{18}{13} - \frac{i}{13}$

3. Умножим на сопряженное
$\displaystyle \frac{(3+2i)(2-i)}{(2+3i)(1+i)}= \frac{(6+i+2)(2-3i)(1-i)}{13\cdot2} = \frac{(8+i)(2-3i)(1-i)}{26}=\\ \\ \\ = \frac{(8+i)(2-5i-3)}{26} =- \frac{(8+i)(5i+1)}{26}=- \frac{3+41i}{26} =- \frac{3}{26} - \frac{41}{26}i$

Answer 2

Конечно, выполним указанные действия с комплексными числами:

а) Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1}{1-i} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1+1} = \frac{1+i}{2}.$

б) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое комплексное число:

$\frac{(1-2i)(2+i)}{3-2i} = \frac{(1-2i)(2+i)}{3-2i} \cdot \frac{3+2i}{3+2i} = \frac{(1-2i)(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}.$

Вычислим числитель:

$(1-2i)(2+i)(3+2i) = (1 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot 2i) - (2i \cdot 2) - (2i \cdot 2 \cdot 2i) = 3 + 2i - 4i - 4 = -1 - 2i.$

А знаменатель:

$(3-2i)(3+2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13.$

Таким образом, получаем:

$\frac{(1-2i)(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{-1 - 2i}{13}.$

в) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое комплексное число:

$\frac{(3+2i)(2-i)}{(2+3i)(1+i)} = \frac{(3+2i)(2-i)}{(2+3i)(1+i)} \cdot \frac{2-3i}{2-3i} = \frac{(3+2i)(2-i)(2-3i)}{(2+3i)(1+i)(2-3i)}.$

Числитель:

$(3+2i)(2-i)(2-3i) = (3 \cdot 2 \cdot 2) - (3 \cdot 2 \cdot i) + (2i \cdot 2) - (2i \cdot i) - (2i \cdot 2 \cdot 3i) - (3 \cdot 2i \cdot 2i) = 12 - 6i + 4i - 2i^2 - 12i - 12 = -14 - 14i.$

Знаменатель:

$(2+3i)(1+i)(2-3i) = (2 \cdot 2 \cdot 2) - (2 \cdot 2 \cdot 3i) + (3i \cdot 2) - (3i \cdot 3i) = 16 - 12i + 6i - 9i^2 = 25 - 6i.$

Итак,

$\frac{(3+2i)(2-i)(2-3i)}{(2+3i)(1+i)(2-3i)} = \frac{-14 - 14i}{25 - 6i}.$