Question

Найдите все такие натуральные числа a∈N, что (2a+1)/(a−2) — целое число. В ответ запишите произведение этих чисел.

Answer 1

$\dfrac{2a+1}{a-2} = \dfrac{2a-4+5}{a-2} = \dfrac{2(a-2)+5}{a-2} = \dfrac{2(a-2)}{a-2} +\dfrac{5}{a-2} =2+\dfrac{5}{a-2}$
Сумма будет целым числом, если второе слагаемое $\dfrac{5}{a-2}$ - целое число.
Для того чтобы дробь $\dfrac{5}{a-2}$ представляла собой целое число, нужно чтобы знаменатель дроби $a-2$ был делителем числа 5. Это возможно при $a-2=\pm1;\pm 5$.
Проверим, будет ли число $a$ в данных ситуациях натуральным:
$a-2=1\Rightarrow a=3 \\\ a-2=-1\Rightarrow a=1 \\\ a-2=5\Rightarrow a=7 \\\ a-2=-5\Rightarrow a \neq -3(-3\notin N)$
Искомые числа а: 1, 3, 7. Их произведение: 21
Ответ: 21

Answer 2

Для того чтобы выразить условие (2a+1)/(a-2) как целое число, необходимо, чтобы числитель был кратен знаменателю. Поэтому мы ищем все натуральные числа a, для которых (2a+1) кратно (a-2).

Мы можем записать это условие как:

(2a+1) % (a-2) = 0,

где % обозначает операцию взятия остатка от деления.

Теперь проверим каждое натуральное число a, начиная с a = 1, чтобы найти все подходящие значения:

a = 1: (2 * 1 + 1) % (1 - 2) = 3 % (-1) = -1 (не подходит) a = 2: (2 * 2 + 1) % (2 - 2) = 5 % 0 = Неопределенное значение (не подходит, так как деление на ноль не допускается) a = 3: (2 * 3 + 1) % (3 - 2) = 7 % 1 = 0 (подходит) a = 4: (2 * 4 + 1) % (4 - 2) = 9 % 2 = 1 (не подходит) a = 5: (2 * 5 + 1) % (5 - 2) = 11 % 3 = 2 (не подходит)

Таким образом, мы нашли одно подходящее значение a = 3.

Ответ: произведение всех таких натуральных чисел a составляет 3.