Question

Найдите все целые n, при которых значение дроби 2n2−7n+12n : n−2 является целым числом. В ответе укажите количество таких n.

Answer 1

$\displaystyle \frac{2n^2-7n+12}{n-2} =\bigg(2n-3\bigg)+ \frac{6}{n-2}$

Так как  $\bigg(2n-3\bigg)$ - целое, то  данный дробь будет целым, если второе слагаемое дроби будет целым, то есть, дробь не должен превышать 6.

Таких целых n несколько: -4; -1; 0; 1; 3; 4; 5; 8 - количество: 8

Answer 2

Для того чтобы значение дроби 2n^2 - 7n + 12n : (n - 2) было целым числом, должно выполняться условие, что числитель кратен знаменателю, то есть (2n^2 - 7n + 12n) должно быть кратно (n - 2). Мы можем решить эту задачу методом деления с остатком.

Выполняем деление (2n^2 - 7n + 12n) на (n - 2):

markdownCopy code
          2n^2 - 7n + 12n
     ______________________

(n - 2) | 2n^2 - 5n - (2n^2 - 4n) ______________ - n + 12n - (-n + 2n) ______________ 10n - (10n - 20) ______________ 20

Таким образом, мы получили остаток 20. Чтобы дробь была целым числом, остаток должен быть равен нулю. Однако в данном случае остаток равен 20, а значит, условие не выполняется.

Следовательно, для целого числа n значение дроби 2n^2 - 7n + 12n : (n - 2) не является целым числом.

Ответ: количество таких n равно 0.