Question

1.Преобразовать в многочлен: а) (x + 4)2; в) (3a – 2)(3a + 2); б) (y – 5x)2; г) (c – 2b)( c + 2b). 2. Разложить на множители: а) x2 – 81; в) 36x4y2 – 169c2; б) y2 – 4a + 4; г) (x + 1)2 – (x – 1)2. 3. Упростить выражение: (c + 6)2 – c(c + 12). 4. Решите уравнение: а) (x + 7)2 – (x – 4)(x + 4) = 65; б) 49y2 – 64 = 0. 5. Выполнить действия: а) (4a2 + b2)(2a – b)(2a + b); б) (b2c3 – 2a2)(b2c3 + 2a2). 6*.Докажите неравенство:4x2 +9y2>12xy – 0,1

Answer 1

$1.~ a)~ (x+4)^2=x^2+8x+16\\ b)~ (y-5x)^2=y^2-10xy+25y^2\\ c)~ (3a-2)(3a+2)=(3a)^2-2^2=9a^2-4\\ d)~ (c-2b)(c+2b)=c^2-(2b)^2=c^2-4b^2$

2. Разложить на множители:

$a)~ x^2-81=x^2-9^2=(x-9)(x+9)\\ b)~ y^2-4y+4=(y-2)^2$

в пункте б) опечатка, так что предположил как должно быть

$c)~ 36x^4y^2-169c^2=(6x^2y)^2-(13c)^2=(6x^2y-13c)(6x^2y+13c)\\ d)~ (x+1)^2-(x-1)^2=(x+1-x+1)(x+1+x-1)=2\cdot 2x=4x$

3. Упростить выражение:

$(c+6)^2-c(c+12)=c^2+12c+36-c^2-12c=36$

4. Решите уравнение:

$a)~ (x+7)^2-(x-4)(x+4)=65\\ x^2+14x+49-x^2+16=65\\ 14x=0\\ x=0$

$b)~ 49y^2-64=0\\ y^2=\dfrac{64}{49}~~\Rightarrow~~~ y_{1,2}=\pm\dfrac{8}{7}$

5. Выполнить действия:

$a)~ (4a^2+b^2)(2a-b)(2a+b)=(4a^2+b^2)(4a^2-b^2)=16a^4-b^4\\ b)~ (b^2c^3-2a^2)(b^2c^3+2a^2)=(b^2c^3)^2-(2a^2)^2=b^4c^6-4a^4$

6*.Докажите неравенство:

$4x^2+9y^2>12xy-0.1\\ 4x^2-12xy+9y^2>-0.1\\ (2x-3y)^2>-0.1$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте решим предложенные задачи:

1. Преобразование в многочлены:

а) (x + 4)^2 = x^2 + 2 * x * 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16.

в) (3a – 2)(3a + 2) = 3a * 3a + 3a * 2 - 2 * 3a - 2 * 2 = 9a^2 - 4.

б) (y – 5x)^2 = y^2 - 5x * y - 5x * y + 5x^2 = y^2 - 10xy + 25x^2.

г) (c – 2b)(c + 2b) = c^2 - 2b * c + 2b * c - 2b * 2b = c^2 - 4b^2.

2. Разложение на множители:

а) x^2 – 81 = (x + 9)(x - 9).

в) 36x^4y^2 – 169c^2 = (6x^2y + 13c)(6x^2y - 13c).

б) y^2 – 4a + 4 = (y - 2)^2.

г) (x + 1)^2 – (x – 1)^2 = ((x + 1) + (x - 1))((x + 1) - (x - 1)) = (2x)(2) = 4x.

3. Упрощение выражения:

(c + 6)^2 – c(c + 12) = c^2 + 12c + 36 - c^2 - 12c = 36.

4. Решение уравнений:

а) (x + 7)^2 – (x – 4)(x + 4) = 65 Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x^2 + 14x + 49 - (x^2 - 16) = 65 Упростим: x^2 + 14x + 49 - x^2 + 16 = 65 14x + 65 = 65 Теперь вычтем 65 с обеих сторон: 14x = 0 x = 0

б) 49y^2 – 64 = 0 Решим уравнение: 49y^2 = 64 y^2 = 64 / 49 y^2 = 1.3061 (округляем до четырех знаков после запятой) y ≈ ±1.144

5. Выполнение действий:

а) (4a^2 + b^2)(2a – b)(2a + b) Раскроем скобки: = (4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2) Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)

б) (b^2c^3 – 2a^2)(b^2c^3 + 2a^2) Раскроем скобки: = (b^2c^3)^2 - (2a^2)^2 = b^4c^6 - 4a^4

6. Доказательство неравенства:

4x^2 + 9y^2 > 12xy - 0.1

Для доказательства неравенства, давайте преобразуем его так, чтобы одна сторона была равна нулю:

4x^2 + 9y^2 - 12xy + 0.1 > 0

Теперь докажем неравенство для всех действительных значений x и y. Заметим, что левая часть представляет собой сумму квадратов 2-х слагаемых: (2x)^2 и (3y)^2, а также добавленной положительной константы 0.1.

Так как квадраты реальных чисел всегда неотрицательны, то (2x)^2 и (3y)^2 всегда неотрицательны. Кроме того, добавление положительной константы 0.1 также не изменяет знак.

Следовательно, левая часть всегда больше нуля, и исходное неравенство верно для всех действительных значений x и y.

Ответ: 4x^2 + 9y^2 > 12xy - 0.1 для всех действительных значений x и y.