Question

Доказать неравенство. а) 9b^2+1>6b б) (a+3)(a+5) < (a+4)^2

Answer 1

А) (3b-1)^2>=0
b) a^2+8a+15-a^2-8a-16=-1<0

Answer 2

Давайте докажем данные неравенства поочередно:

а) 9b^2 + 1 > 6b

Для начала, перепишем неравенство в стандартной форме:

9b^2 - 6b + 1 > 0

Теперь заметим, что данное неравенство представляет собой квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c > 0. Чтобы узнать, когда такое уравнение положительно, нам необходимо найти его дискриминант и выяснить, когда он больше нуля.

Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 9, b = -6, и c = 1. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 9 * 1 D = 36 - 36 D = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас имеется один корень уравнения, и он является действительным числом. В этом случае, чтобы найти, когда уравнение больше нуля, можно проанализировать знак коэффициента a.

Если a > 0, то уравнение положительно в интервалах между его корнями. Если a < 0, то уравнение положительно вне интервалов между корнями.

В нашем случае a = 9 (положительное число), следовательно, неравенство 9b^2 + 1 > 6b будет выполнено вне интервалов между корнями. Это означает, что нам нужно определить значения b, когда выражение между корнями (в интервалах, где уравнение больше нуля) отрицательно, чтобы неравенство выполнялось.

Чтобы это сделать, найдем корни уравнения 9b^2 - 6b + 1 = 0. Это можно сделать, используя формулу квадратных корней:

b = (-b ± √D) / (2a)

b = (6 ± √0) / (2 * 9)

b = (6 ± 0) / 18

Таким образом, уравнение имеет один корень b = 6 / 18 = 1/3.

Теперь мы знаем, что уравнение 9b^2 + 1 > 6b будет выполнено вне интервалов между корнем и, следовательно, нам нужно проверить значения b вне этого интервала.

Если b < 1/3, то 9b^2 + 1 > 6b Если b > 1/3, то 9b^2 + 1 > 6b

Таким образом, данное неравенство верно для всех значений b, кроме b = 1/3.

Ответ: 9b^2 + 1 > 6b для всех b, кроме b = 1/3.

б) (a + 3)(a + 5) < (a + 4)^2

Для начала раскроем скобки:

a^2 + 8a + 15 < a^2 + 8a + 16

Теперь перенесем все выражения в одну сторону:

a^2 + 8a + 15 - a^2 - 8a - 16 < 0

Упростим:

-1 < 0

Так как -1 всегда меньше 0, данное неравенство выполняется для всех значений a.

Ответ: (a + 3)(a + 5) < (a + 4)^2 выполняется для всех значений a.