Question

Вычислите площадь фигуры ,ограниченной линиями : y=x^2-6x+7, y=x+1

Answer 1

Y=x²-6x+7    y=x+1   S=?
x²-6x+7=x+1
x²-7x+6=0   D=25
x₁=1     x₂=6
S=₁∫⁶(x+1-(x²-6x+7))dx=₁∫⁶(7x-x²-6)dx=(7x²/2-x³/3-6x) ₁|⁶=
=7*6²/2-6³/3-6*6-(7*1²/2-1³/3-6*1)=
=126-72-36-3,5+1/3+6=20,5+1/3=41/2+1/3=125/6.
Ответ: S≈20, 83 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность функций между этими точками по оси x.

Для начала найдем точки пересечения двух функций:

y = x^2 - 6x + 7 y = x + 1

Поскольку обе функции равны y, приравняем их друг к другу:

x^2 - 6x + 7 = x + 1

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

x^2 - 6x + 6 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(x - 3)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = 2.

Теперь вычислим площадь между этими двумя кривыми:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx, от x = 2 до x = 3

Площадь = ∫((x + 1) - (x^2 - 6x + 7)) dx, от x = 2 до x = 3

Площадь = ∫(x + 1 - x^2 + 6x - 7) dx, от x = 2 до x = 3

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [x^2/2 + x - x^3/3 + 3x^2/2 - 7x] от x = 2 до x = 3

Площадь = [(9/2 + 3 - 27/3 + 27/2 - 14) - (2^2/2 + 2 - 2^3/3 + 32^2/2 - 72)]

Площадь = [(9/2 + 3 - 9 + 27/2 - 14) - (2 + 2 - 8/3 + 6 - 14)]

Площадь = [(-1/2) - (-2 + 8/3 - 6)]

Площадь = (-1/2) - (-12/3 + 8/3)

Площадь = (-1/2) - (4/3)

Площадь = -1/2 - 4/3

Площадь = -6/6 - 8/6

Площадь = -14/6

Площадь = -7/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 6x + 7 и y = x + 1, составляет -7/3 (причем площадь отрицательна, что означает, что кривая y = x^2 - 6x + 7 находится выше кривой y = x + 1 в этом диапазоне).