Question

Найти b1 и q, если b1+b3=20 b2+b4=60 (геометрическая прогрессия)

Answer 1

Bn = b₁ * qⁿ⁻¹

b₃ = b₁ * q²
b₁ + b₃ = b₁ + b₁ * q² = 20   (1)

b₂ = b₁ * q
b₄ = b₁ * q³
b₂ + b₄ = b₁ * q + b₁ * q³ = 60   (2)

Составим систему из уравнений (1) и (2):
b₁ + b₁ * q² = 20
b₁ * q + b₁ * q³ = 60

b₁(1 + q²) = 20
b₁q(1 + q²) = 60
Разделим второе уравнение на первое.
b₁(1 + q²) = 20
(b₁q(1 + q²))/(b₁(1 + q²))= 60/20

b₁(1 + q²) = 20
q = 3

b₁(1 + 9) = 20
q = 3

b₁ = 2
q = 3

Ответ: b₁ = 2, q = 3

Answer 2

Дано, что последовательность является геометрической прогрессией. В геометрической прогрессии каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число q.

Обозначим первый член (первый элемент) последовательности как b1, а затем выразим остальные члены последовательности через b1 и q:

b1, b1 * q, b1 * q^2, b1 * q^3

Теперь у нас есть два уравнения, связанных с суммами элементов:

b1 + b1 * q^2 = 20 ........ (1) b1 * q + b1 * q^3 = 60 ....... (2)

Давайте решим эту систему уравнений. Возможный подход - разделить уравнение (2) на уравнение (1):

(b1 * q + b1 * q^3) / (b1 + b1 * q^2) = 60 / 20 (q + q^3) / (1 + q^2) = 3 q^2 - 3q + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение для q:

q = (3 ± √(3^2 - 4 * 1 * 1)) / 2 q = (3 ± √(9 - 4)) / 2 q = (3 ± √5) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для q:

1. q = (3 + √5) / 2 ≈ 1.618 (приближенное значение числа золотого сечения)
2. q = (3 - √5) / 2 ≈ -0.618

Теперь найдем b1, используя одно из уравнений (например, уравнение 1):

b1 + b1 * ((3 + √5) / 2)^2 = 20 b1 + b1 * (9 + 6√5 + 5) / 4 = 20 b1 + b1 * (14 + 6√5) / 4 = 20 b1 + b1 * (7 + 3√5) / 2 = 20 b1 * (1 + (7 + 3√5) / 2) = 20 b1 * (2 + 7 + 3√5) / 2 = 20 b1 * (9 + 3√5) / 2 = 20 b1 = 20 * 2 / (9 + 3√5) b1 = 40 / (9 + 3√5) b1 ≈ 40 / (9 + 3 * 1.618) ≈ 40 / (9 + 4.854) ≈ 40 / 13.854 ≈ 2.883

Таким образом, получаем два возможных решения для геометрической прогрессии:

1. b1 ≈ 2.883, q ≈ 1.618 (число золотого сечения)
2. b1 ≈ 2.883, q ≈ -0.618

Обратите внимание, что геометрическая прогрессия может иметь два различных значения для q, но у нас всегда будет только одно значение для b1.