Question

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у= -х^3+3х^2-4 образует тупой угол с положительным направлением оси Ох

Answer 1

Y ' = - 3x^2 + 6x 

y ' < 0
- 3x^2 + 6x < 0   /:(-3)
x^2 - 2x > 0
x (x -  2) > 0

       +               -                 +
------------   0 -------- 2   ---------------> x 

x ∈ ( - ∞; 0) ∪ (2;  + ∞)

Answer 2

Для того чтобы определить точки, в которых касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, нужно найти значения x, при которых производная функции равна 0 (т.е. где кривая функции имеет горизонтальную касательную) и убывает (т.е. имеет отрицательный наклон).

Дана функция: y = -x^3 + 3x^2 - 4

Шаги для нахождения таких точек:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Решим уравнение производной равной 0, чтобы найти точки, где кривая имеет горизонтальную касательную.
3. Исследуем знак производной на интервалах между найденными корнями, чтобы определить убывание функции и отрицательный наклон.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx(-x^3 + 3x^2 - 4) y' = -3x^2 + 6x

Шаг 2: Решим уравнение производной равной 0: -3x^2 + 6x = 0 x(-3x + 6) = 0

Таким образом, корни этого уравнения: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Исследуем знак производной на интервалах между найденными корнями (x < 0, 0 < x < 2, x > 2).

a) При x < 0: Выберем x = -1 (произвольное значение между 0 и 2) и подставим в производную: y'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 (отрицательное значение). Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0).

b) При 0 < x < 2: Выберем x = 1 (произвольное значение между 0 и 2) и подставим в производную: y'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 (положительное значение). Таким образом, функция возрастает на интервале (0, 2).

c) При x > 2: Выберем x = 3 (произвольное значение больше 2) и подставим в производную: y'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 (отрицательное значение). Таким образом, функция убывает на интервале (2, +∞).

Теперь, учитывая информацию о производной, мы можем сделать выводы:

• В точке x = 0 функция имеет горизонтальную касательную и убывает, следовательно, касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ох.
• В точке x = 2 функция также имеет горизонтальную касательную и убывает, следовательно, касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ох.

Таким образом, абсциссы точек, в которых касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, равны x = 0 и x = 2.