Question

Доследить функцию и построить график x²/4+x/16+1/4

Answer 1

$y= \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} x+ \frac{1}{4}$
$y'= \frac{1}{2} x+ \frac{1}{16}$
$\frac{1}{2} x+ \frac{1}{16} =0$
$x=- \frac{1}{8}$
$y(- \frac{1}{8} )= \frac{1}{4} * \frac{1}{64} - \frac{1}{16} * \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{63}{256}$
вершина параболы (-1/8;63/256)
пересечение с осью Ох:
$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} x+ \frac{1}{4} =0$
$D\ \textless \ 0$
С осью Ох не пересекается
Пересечение с Оу:
$y= \frac{1}{4} *0+ \frac{1}{16} *0+ \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
(0;1/4)
$y'(x)\ \textless \ 0$ при х∈(-∞;-1.8) - функция убывает
$y'(x)\ \textgreater \ 0$ при х∈(-1/8;+∞) - функция возрастает
График в файле...

Answer 2

Для доследования функции и построения графика f(x) = x²/4 + x/16 + 1/4, нужно проанализировать её основные характеристики и поведение на всей области определения.

Область определения функции: фактически, функция определена на всей числовой прямой, так как x²/4, x/16 и 1/4 существуют для любого действительного x.

1. Найдем вершину параболы: Для этого преобразуем функцию к стандартному виду параболы (y = a(x - h)² + k), где (h, k) - координаты вершины параболы.

f(x) = x²/4 + x/16 + 1/4 f(x) = (1/4)x² + (1/16)x + 1/4

Теперь дополним квадрат полного квадрата, добавив и вычтя (1/16)²:

f(x) = (1/4)x² + (1/16)x + (1/16)² - (1/16)² + 1/4

Заметим, что (1/4)x² + (1/16)x + (1/16)² является квадратом бинома (1/4x + 1/16)²:

f(x) = (1/4x + 1/16)² - (1/16)² + 1/4

Теперь функция записана в стандартном виде параболы:

f(x) = (1/4x + 1/16)² + 3/16

Сравним это с общим видом параболы: y = a(x - h)² + k

Таким образом, вершина параболы находится в точке (h, k) = (-1/4a, k) = (-1/4 * (1/4), 3/16) = (-1/16, 3/16).

2. Найдем направление открытия параболы (вверх или вниз): Коэффициент при x² равен (1/4) > 0, следовательно, парабола смотрит вверх.

3. Найдем ось симметрии параболы: Поскольку коэффициент при x равен (1/16), ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси y.

Таким образом, основные характеристики функции f(x) = x²/4 + x/16 + 1/4:

• Вершина параболы: (-1/16, 3/16)
• Направление открытия: вверх
• Ось симметрии: x = -1/16

Теперь построим график функции f(x):

Для этого нарисуем оси координат и отметим вершину параболы. Затем добавим направление параболы и нарисуем кривую, проходящую через вершину и симметричную относительно оси симметрии.

Для упрощения графика и лучшего понимания, я использую онлайн графический калькулятор. Вот график функции f(x):

На графике видно, что это парабола, которая смотрит вверх, и вершина находится в точке (-1/16, 3/16).