Question

Решите уравнение 9^x+6^x=2^(2x+1). В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся методом преобразования уравнений с одинаковыми основаниями. Применим логарифмы с обоих сторон уравнения:

1. $9^x + 6^x = 2^{2x+1}$

2. $\log_2(9^x + 6^x) = \log_2(2^{2x+1})$

3. $\log_2(9^x + 6^x) = 2x + 1$

Заметим, что левая сторона уравнения может быть упрощена, используя тождество $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$, где $a = 3^x$ и $b = 2^x$:

4. $9^x + 6^x = (3^x + 2^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x$

Теперь заменим левую сторону уравнения в выражении (3):

5. $\log_2((3^x + 2^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x) = 2x + 1$

Давайте обозначим $u = 3^x + 2^x$ для упрощения вычислений:

6. $\log_2(u^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x) = 2x + 1$

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в степень основания логарифма (основание у нас равно 2):

7. $u^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x = 2^{2x + 1}$

Подставим обратно $u = 3^x + 2^x$:

8. $(3^x + 2^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x = 2^{2x + 1}$

Раскроем квадрат и упростим:

9. $9^x + 6^x + 2 \cdot 3^x \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x = 2^{2x + 1}$

10. $9^x + 6^x = 2^{2x + 1}$

Мы получили исходное уравнение (1), что означает, что уравнение имеет бесконечно много корней. Каждый корень может быть выражен в виде $x = \log_3(u) - \log_2(u)$, где $u$ - любое положительное число. Следовательно, ответом является "бесконечное количество корней".