Question

Вычислите предел, используя правило Лопиталя а) lim x->0 arcctgbx/cx b) lim x->∞ 7n²-6n+5/3-2n-n² c) lim x->0 sin6x+sin5x/tg2x

Answer 1

$1)\; \lim\limits _{x \to 0}\frac{arctgbx}{cx}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{\frac{b}{1+(bx)^2}}{c}=\frac{b}{c}\\\\2)\; \lim\limits _{n \to \infty}\frac{7n^2-6n+5}{3-2n-n^2}=[\frac{\infty }{\infty }]=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{14n-6}{-2-2n}=\lim\limits \frac{14}{-2}=-7\\\\3)\; \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin6x+sin5x}{tg2x}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{6cos6x+5cos5x}{\frac{2}{cos^22x}}=\frac{6\cdot 1+5\cdot 1}{2}=5,5$

P.S. Если  $\lim\limits _{x \to 0}\frac{arcctgbx}{cx}=[\frac{\pi /2 }{0}=\infty ]$ , то правило Лопиталя применять не надо.

Answer 2

Для каждого из пределов a), b) и c) применим правило Лопиталя последовательно до тех пор, пока не получим определенное значение или не достигнем неопределенности.

a) lim x->0 (arcctg(bx)) / cx

Начнем с вычисления производных: (d/dx) (arcctg(bx)) = -1 / (1 + (bx)^2) (d/dx) (cx) = c

Теперь, применим правило Лопиталя: lim x->0 (arcctg(bx)) / cx = lim x->0 (-1 / (1 + (bx)^2)) / c

Теперь, подставим x=0 и получим итоговый результат: lim x->0 (arcctg(bx)) / cx = -1 / c

Ответ: lim x->0 (arcctg(bx)) / cx = -1 / c

b) lim x->∞ (7n² - 6n + 5) / (3 - 2n - n²)

Для этого предела также найдем производные: (d/dn) (7n² - 6n + 5) = 14n - 6 (d/dn) (3 - 2n - n²) = -2 - 2n

Применим правило Лопиталя: lim x->∞ (7n² - 6n + 5) / (3 - 2n - n²) = lim x->∞ (14n - 6) / (-2 - 2n)

Теперь, подставим x=∞ и получим итоговый результат: lim x->∞ (7n² - 6n + 5) / (3 - 2n - n²) = lim x->∞ (14n - 6) / (-2 - 2n) = -14 / 2 = -7

Ответ: lim x->∞ (7n² - 6n + 5) / (3 - 2n - n²) = -7

c) lim x->0 (sin6x + sin5x) / tg2x

Для этого предела вычислим производные: (d/dx) (sin6x) = 6cos6x (d/dx) (sin5x) = 5cos5x (d/dx) (tg2x) = 2sec^2(2x)

Применим правило Лопиталя: lim x->0 (sin6x + sin5x) / tg2x = lim x->0 (6cos6x + 5cos5x) / 2sec^2(2x)

Теперь, подставим x=0 и получим итоговый результат: lim x->0 (sin6x + sin5x) / tg2x = lim x->0 (6cos6x + 5cos5x) / 2sec^2(2x) = (6cos0 + 5cos0) / 2sec^2(0) = (6 + 5) / 2 = 11 / 2

Ответ: lim x->0 (sin6x + sin5x) / tg2x = 11 / 2