Question

Баню если просто так пишете 1 Выделите полный квадрат, содержащий переменную x в выражении x2 – 25x + c2. 2 Представьте в виде многочлена в стандартном виде (x + 2)4. 3 Является ли верным тождество: (2a + b)3 – (2a – b)3 = (a – b)(5(a + b)2 – 6ab). Аргументируйте свой ответ.

Answer 1

1. $x^2-24x-x-c^2=x^2-2*x*12 +12^2-12^2-x-c^2= \\ =(x-12)^2-c^2-x-144$

2.  $(x+2)^4 = x^4+4*2*x^3+6*2^2*x^2+4*2^3*x+2^4= \\ =x^4+8x^3+24x^2+32x+16$

3. Раскроем левую часть: 
$(2a+b)^3-(2a-b)^3= \\ =8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3-8a^3+12a^2b-6ab^2+b^3= \\ =24a^2b+2b^2$
Теперь раскроем правую часть: 
$(a-b)(5(a+b)^2-6ab)= \\ =(a-b)(5(a^2+2ab+b^2) - 6ab)= \\ =(a-b)(5a^2+10ab+5b^2-6ab)= \\ =(a-b)(5a^2+4ab+5b^2)= \\ =5a^3+4a^2b+ab^2-5a^2b-4ab^2-b^3= \\ =5a^3-a^2b+ab^2-5b^3$
Видим, что приведенные к стандартному многочлену выражения не равны друг другу. Из этого можно сделать вывод, что выражения тождественно НЕ равны.

Answer 2

1. Чтобы выделить полный квадрат в выражении x^2 – 25x + c^2, нужно сравнить его с общей формулой для полного квадрата, которая выглядит так: (x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2. В данном случае, у нас есть x^2 – 25x + c^2.

Для выделения полного квадрата, нужно найти число p, такое что: -25x = -2px и c^2 = p^2.

Из первого равенства следует, что p = 25/2 = 12.5.

Теперь, чтобы совпало c^2 = p^2, c = 12.5.

Таким образом, полный квадрат, содержащий переменную x, в данном выражении это: (x - 12.5)^2.

2. Чтобы представить многочлен (x + 2)^4 в стандартном виде, нужно раскрыть скобки и упростить выражение. Используем биномиальную формулу:

(x + 2)^4 = C(4,0) * x^4 + C(4,1) * x^3 * 2 + C(4,2) * x^2 * 2^2 + C(4,3) * x * 2^3 + C(4,4) * 2^4

где C(n,k) - число сочетаний из n элементов по k элементов.

Вычислим значения сочетаний:

C(4,0) = 1 C(4,1) = 4 C(4,2) = 6 C(4,3) = 4 C(4,4) = 1

Теперь подставим значения в формулу:

(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16

Таким образом, многочлен (x + 2)^4 в стандартном виде равен x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.

3. Для проверки тождества (2a + b)^3 - (2a - b)^3 = (a - b)(5(a + b)^2 - 6ab), развернем левую и правую части уравнения.

Левая часть:

(2a + b)^3 - (2a - b)^3

Используем формулу для разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

(2a + b)^3 = (2a + b)(4a^2 + 4ab + b^2) = 8a^3 + 8a^2b + 2ab^2 + 4a^2b + 4ab^2 + b^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3

(2a - b)^3 = (2a - b)(4a^2 - 4ab + b^2) = 8a^3 - 8a^2b + 2ab^2 - 4a^2b + 4ab^2 - b^3 = 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3

Теперь вычтем одно из другого:

(2a + b)^3 - (2a - b)^3 = (8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3) - (8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3)

Видим, что многие члены в этой разности упрощаются:

12a^2b и -12a^2b уничтожаются, так же как 6ab^2 и -6ab^2.

Получаем:

(2a + b)^3 - (2a - b)^3 = 2b^3 + 24a^2b

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

(a - b)(5(a + b)^2 - 6ab)

Раскроем квадрат (a + b)^2:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Теперь умножим на 5 и вычтем 6ab:

5(a + b)^2 - 6ab = 5(a^2 + 2ab + b^2) - 6ab = 5a^2 + 10ab + 5b^2 - 6ab = 5a^2 + 4ab + 5b^2

Теперь раскроем скобку (a - b):

(a - b)(5(a + b)^2 - 6ab) = (a - b)(5a^2 + 4ab + 5b^2)

Теперь умножим каждый член на (a - b):

(a - b)(5a^2 + 4ab + 5b^2) = 5a^3 - 5a^2b + 4a^2b - 4ab^2 + 5ab^2 - 5b^3 = 5a^3 - a^2b - ab^2 - 5b^3

Таким образом, правая часть равна 5a^3 - a^2b - ab^2 - 5b^3.

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: (2a + b)^3 - (2a - b)^3 = 2b^3 + 24a^2b

Правая часть: (a - b)(5(a + b)^2 - 6ab) = 5a^3 - a^2b - ab^2 - 5b^3

Видим, что обе части не равны, следовательно, тождество (2a + b)^3 - (2a - b)^3 = (a - b)(5(a + b)^2 - 6ab) не верно.