Question

один з катетів прямокутного трикутника на 7 см менше від другого. Знайдіть периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 13 см

Answer 1

Решение
Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см менше від другого. Знайдіть периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 13 см

Пусть один катет будет х см, тогда второй катет будет (х + 7) см. Гипотенуза  c равна 13 см. По теореме Пифагора:
x² + (x + 7)² = 13²
x²+ x² + 14x + 49 - 169 = 0
2x² + 14x - 120 = 0 делим на 2
x² + 7x - 60 = 0
D = 49 + 4*1*60 = 289
x₁ = (- 7 - 17)/2 = - 24/2 = - 12 < 0 не удовлетворяет смыслу задачи
x₂ =  (- 7 +17)/2 = 10/2 = 5
Первый катет равен  a = 5 см
Второй катет будет b = (5 + 7) = 12 (см)
P = a + b + c
P = 5 + 12 + 13 = 30 (cм)
Ответ: 30 см

Answer 2

Давайте позначимо довжини катетів прямокутного трикутника як "x" та "x + 7" см, оскільки один катет на 7 см менше від другого.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи:

$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$

Розкриємо дужки та спростимо:

$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$

$2x^2 + 14x - 120 = 0$

Тепер нам потрібно розв'язати квадратне рівняння, щоб знайти значення "x".

Знаходимо дискримінант D:

$D = b^2 - 4ac$

де a = 2, b = 14, c = -120

$D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-120) = 196 + 960 = 1156$

Тепер знаходимо значення "x" за допомогою формули:

$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-14 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 2} = \frac{-14 + 34}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Отже, довжина коротшого катета дорівнює 5 см, а довжина довшого катета дорівнює $5 + 7 = 12$ см.

Тепер знайдемо периметр трикутника, додавши довжини всіх трьох сторін:

$Периметр = 5 + 12 + 13 = 30$

Отже, периметр цього прямокутного трикутника дорівнює 30 см.