Question

Найти наименьший период функции y=sinxcos2x+cosxsin2x

Answer 1

Найти наименьший период функции
 y=sinxcos2x+cosxsin2x = Sin3x
y = Sinx имеет наименьший период T = 2π
y = Sin3x  "пляшет" чаще в 3 раза. Значит, у неё период T = 2π/3

Answer 2

Для нахождения периода функции $y = \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x)$ нужно определить значение $T$, которое удовлетворяет следующему условию:

$f(x + T) = f(x)$

где $f(x) = \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x)$.

Для начала, заметим, что $f(x)$ может быть упрощена:

$f(x) = \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x) = \sin(x)(\cos(2x) + \sin(2x))$

Теперь выразим $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $\sin(x)$ и $\cos(x)$:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1$

Подставим найденные значения в $f(x)$:

$f(x) = \sin(x)(2\cos^2(x) - 1 + 2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x)(2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 1)$

Теперь используем тригонометрическое тождество $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ для дальнейшего упрощения:

$f(x) = \sin(x)(\sin(2x) + 2\cos^2(x) - 1) = \sin(x)(\sin(2x) + \cos(2x))$

Мы получили, что $f(x) = \sin(x)(\sin(2x) + \cos(2x))$.

Теперь определим период функции $f(x)$. Период функции - это значение $T$, при котором функция $f(x + T)$ повторяет свое значение $f(x)$ для любого значения $x$.

Заметим, что $\sin(x)$ - функция с периодом $2\pi$ и $\sin(2x)$ - функция с периодом $\pi$. Кроме того, $\cos(2x)$ - функция с периодом $\frac{\pi}{2}$.

Чтобы получить наименьший период для функции $f(x)$, нужно найти общий кратный период для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) периодов $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$\text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2}) = 2\pi$

Таким образом, наименьший период для функции $f(x)$ равен $2\pi$.

Ответ: Наименьший период функции $y = \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x)$ равен $2\pi$.