Question

При каком значении параметра a касательная к графику функции y=ax2+3x+4 в точке x=2 образует с осью x угол 45°?

Answer 1

Α=45° => tgα =tg45° =1 => y`(x₀)=1
y=ax²+3x+4
y`(x)=(ax²+3x+4)`=2ax+3
x₀=2
2ax₀+3=2a*2+3=4a+3
y`(2)=1  =>  4a+3=1
                    4a=-2
                     a=-2/4
                     a=-1/2

Answer 2

Чтобы касательная к графику функции $y = ax^2 + 3x + 4$ в точке $x = 2$ образовывала угол 45° с осью $x$, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой касательной должен быть равен $1$ (так как тангенс угла 45° равен 1).

Первоначально найдем производную функции $y = ax^2 + 3x + 4$, чтобы получить уравнение касательной:

$y' = \frac{d}{dx}(ax^2 + 3x + 4) = 2ax + 3.$

Затем найдем угловой коэффициент касательной в точке $x = 2$:

$m = y'(2) = 2a \cdot 2 + 3 = 4a + 3.$

Теперь, чтобы угол между касательной и осью $x$ был 45°, значение углового коэффициента должно быть равно $1$:

$4a + 3 = 1.$

Решим уравнение относительно $a$:

$4a = 1 - 3 = -2.$ $a = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$

Таким образом, значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = ax^2 + 3x + 4$ в точке $x = 2$ образует угол 45° с осью $x$, равно $-\frac{1}{2}$.