Question

Найти экстремумы функции y =x^3 - 4x

Answer 1

0 и 2
аааааааааааааааааа

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^3 - 4x$ необходимо найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. В таких точках функция может иметь локальные минимумы или максимумы.

Шаги для нахождения экстремумов:

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 4x$ по $x$: $y' = 3x^2 - 4$.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $3x^2 - 4 = 0$.

   Решим уравнение: $3x^2 = 4$, $x^2 = \frac{4}{3}$, $x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$.

3. Проверим, что эти точки не являются точками разрыва функции. Так как функция $y = x^3 - 4x$ является многочленом, она определена на всей числовой прямой, и в этих точках функция не имеет разрывов.

4. Определим характер экстремумов в этих точках с помощью второй производной: $y'' = 6x$.

   Для $x = -\sqrt{\frac{4}{3}}$, $y''(-\sqrt{\frac{4}{3}}) = 6 \cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}}) = -2$, для $x = \sqrt{\frac{4}{3}}$, $y''(\sqrt{\frac{4}{3}}) = 6 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}} = 2$.

5. Анализируем знаки второй производной в найденных точках:

   • Если $y'' < 0$, то это указывает на максимум.
   • Если $y'' > 0$, то это указывает на минимум.

   По результатам вычислений видно, что:

   • $x = -\sqrt{\frac{4}{3}}$ соответствует максимуму.
   • $x = \sqrt{\frac{4}{3}}$ соответствует минимуму.

Итак, экстремумы функции $y = x^3 - 4x$ имеются:

• Максимум в точке $\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \frac{16}{3}\right)$,
• Минимум в точке $\left(\sqrt{\frac{4}{3}}, -\frac{16}{3}\right)$.