Question

Знайти проміжки на яких функція y=(x-2)^+(x+4)^ -зростає

Answer 1

Функция возрастает тогда, когда ее производная больше нуля.

Раскроем скобки:
y=(x-2)^+(x+4)^ = xx - 4x + 4 + xx + 8x + 16 = 2xx + 4x + 20

Найдем производную:
y` = (2xx + 6x + 20)` = 4x + 4

Приравняем ее к нулю:
4x + 4 = 0
x = -4/4 = -1

При х > -1 производная функции больше нуля и функция возрастает.

Ответ: x E (-1; ∞)

Answer 2

Для знаходження проміжків, на яких функція зростає, потрібно спостерігати знак похідної функції y'(x). Функція зростає на тих інтервалах, де похідна є додатною.

Давайте спершу знайдемо похідну функції y = (x - 2)^2 * (x + 4):

y = (x - 2)^2 * (x + 4)

Застосуємо правило множення та ланцюжка:

y' = (x - 2)^2 * (1) + (x + 4) * 2 * (x - 2) = (x - 2)(2(x - 2) + (x + 4) * (x - 2))

y' = (x - 2)(2x - 4 + x^2 - 2x) = (x - 2)(x^2 - 4)

Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю:

x - 2 = 0 або x^2 - 4 = 0

x = 2 або x^2 = 4

x = 2 або x = ±2

Таким чином, ми маємо три можливі точки, в яких похідна може змінювати знак: x = -2, x = 2, x = 2.

Тепер розділимо вісь x на чотири інтервали: (-∞, -2), (-2, 2), (2, 2), та (2, +∞).

Перевіримо значення похідної на цих інтервалах, щоб визначити, де вона додатня і де вона від'ємна.

1. Для інтервалу (-∞, -2):

Підставимо х = -3 у похідну:

y' = (-3 - 2)(-3)^2 - 4 = (-5)(9) - 4 = -45 - 4 = -49

Отже, на цьому інтервалі похідна від'ємна (y' < 0).

2. Для інтервалу (-2, 2):

Підставимо х = 0 у похідну:

y' = (0 - 2)(0)^2 - 4 = (-2)(0) - 4 = 0 - 4 = -4

Отже, на цьому інтервалі похідна від'ємна (y' < 0).

3. Для інтервалу (2, +∞):

Підставимо х = 3 у похідну:

y' = (3 - 2)(3)^2 - 4 = (1)(9) - 4 = 9 - 4 = 5

Отже, на цьому інтервалі похідна додатна (y' > 0).

Тепер знаємо, що на інтервалі (2, +∞) функція зростає.

Таким чином, проміжок, на якому функція y = (x - 2)^2 * (x + 4) зростає, це (2, +∞).