Question

чему равно наибольшее расстояние до точки с координатами (2;0) от окружности x^2+y^2=1 ? мат.анализ. это задание нужно как-то связать с производной, найти наибольшее значение? наведите на мысль, пожалуйста..

Answer 1

X^2+y^2=1 
Окружность с центром в начале координат и радиусом R=1. 
  
1) Если вам надо решить именно через производную, то самое расстояние будет касательной проведенной из точки (2,0) к данной окружности 
Рассмотрим его одну полуокружность y=√(1-x^2) (так как симметричны)  
 Если A(a,√(1-a^2)) точки касания, то 
 f(a)=√(1-a^2) 
 f'(a)=-a/√(1-a^2) 
 тогда уравнение касательной y=(1-ax)/√(1-a^2) она проходит через точку (2,0) то есть 0=(1-2a)/√(1-a^2)  откуда  a=1/2 
 то есть точки касания A(1/2,√(3)/2) B(2,0) откуда расстояние 
  AB=√(9/4+3/4) = √(3) (наибольшее как касательная) 
 
2) Если геометрический то получаем гипотенузу расстоянием  AB=2, AC=1 тогда второй катет BC=√(AB^2-AC^2)=√(4-1)=√(3) 

Answer 2

Чтобы найти наибольшее расстояние от точки до окружности, можно воспользоваться методом производных. Пусть точка с координатами (2, 0) называется точкой P, а окружность с уравнением x^2 + y^2 = 1 называется окружностью C.

Расстояние от точки P до произвольной точки на окружности C можно представить как функцию d(y), где y - координата произвольной точки на окружности C. Так как мы знаем, что x^2 + y^2 = 1, то x = sqrt(1 - y^2).

Теперь можно записать выражение для квадратного расстояния от точки P до произвольной точки на окружности C:

d^2(y) = (x - 2)^2 + y^2 d^2(y) = (sqrt(1 - y^2) - 2)^2 + y^2

Теперь нужно найти максимум d^2(y). Для этого найдем производную d^2(y) по y и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

d^2(y) = (sqrt(1 - y^2) - 2)^2 + y^2 d^2(y) = (1 - 2sqrt(1 - y^2) + y^2) + y^2 d^2(y) = 1 - 2sqrt(1 - y^2) + 2*y^2

d^2'(y) = -2 * (-1/2)*((1 - y^2)^(-1/2)) * (-2y) + 4y d^2'(y) = (y/sqrt(1 - y^2)) + 4y d^2'(y) = y/sqrt(1 - y^2) + 4y

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

y/sqrt(1 - y^2) + 4y = 0 y + 4ysqrt(1 - y^2) = 0 y(1 + 4sqrt(1 - y^2)) = 0

Отсюда y = 0 или 1 + 4*sqrt(1 - y^2) = 0

Очевидно, что y = 0 является точкой на окружности C. При y = 0, x = sqrt(1 - 0^2) = 1, что дает нам точку на окружности C с координатами (1, 0).

Теперь остается найти максимум d^2(y) на окружности C. Для этого можно использовать вторую производную, чтобы определить, является ли найденная критическая точка (y = 0) максимумом или минимумом.

d^2''(y) = (d/dy)(y/sqrt(1 - y^2) + 4y) d^2''(y) = (1/sqrt(1 - y^2)) + (y*(-1/2))((1 - y^2)^(-3/2))(-2y) + 4 d^2''(y) = (1/sqrt(1 - y^2)) - (y^2/sqrt((1 - y^2)^3)) + 4

Теперь подставим y = 0:

d^2''(0) = (1/sqrt(1 - 0^2)) - (0^2/sqrt((1 - 0^2)^3)) + 4 d^2''(0) = 1 - 0 + 4 d^2''(0) = 5

Так как d^2''(0) положительно, то у нас есть локальный минимум при y = 0. Это означает, что расстояние от точки (2, 0) до окружности x^2 + y^2 = 1 минимально, и оно равно sqrt(d^2(0)) = sqrt(1) = 1.

Таким образом, наибольшее расстояние от точки (2, 0) до окружности x^2 + y^2 = 1 равно 1.