Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции \frac{x^{2}+7x}{x-9} на промежутке [-4; 1]

Answer 1

Найдем стационарные точки:

$f(x)=\frac{x^{2}+7x}{x-9}\\\\ f'(x)=[\frac{x^{2}+7x}{x-9} ]'=\frac{[x^2+7x]'*[x-9]-[x^2+7x]*[x-9]'}{(x-9)^2}=\\\\ =\frac{[2x+7]*[x-9]-[x^2+7x]*[1]}{(x-9)^2}=\frac{2x^2-18x+7x-63-x^2-7x}{(x-9)^2}=\\\\ =\frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}.\\\\ f'(x)=0\\\\ \frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{x^2-21x+3x-63}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{x(x-21)+3(x-21)}{(x-9)^2}=0\\\\ \frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}=0\\\\ x_1=-3\ \ x_2=21$

$f'(x)=\frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}\\\\ +++++[-3]------(9)-----[21]++++\ \textgreater \ x$

Получили, что при значении  $x=-3$ функция  $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(-3)=\frac{(-3)^{2}+7*(-3)}{-3-9} =\frac{9-21}{-12}=1$

также, при значении  $x=21$ функция  $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(21)=\frac{21^{2}+7*21}{21-9}=\frac{588}{12}=49$

на концах интервала значения функции:
$f(-4)=\frac{(-4)^{2}+7*(-4)}{-4-9} =\frac{16-28}{-13}=\frac{12}{13}\\\\ f(1)=\frac{1^{2}+7*1}{1-9} =\frac{8}{-8}=-1$

--------------------------
В итоге, наибольшее значение функции на промежутке  $[-4;\ 1]$ равно  $f(-3)=1$, и наименьшее:  $f(1)=-1$
---------------------------
Ответ: на промежутке  $x\in[-4;\ 1]$      $-1 \leq f(x) \leq 1$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке [-4, 1], мы можем следовать следующим шагам:

1. Найдем точки, в которых функция может достигать экстремумов, то есть точки, где производная равна нулю или не существует, и границы промежутка.

2. Вычислим значения функции в найденных точках и на границах промежутка.

3. Сравним полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции.

Шаг 1: Найдем точки, в которых функция может достигать экстремумов. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

Функция: f(x) = (x^2 + 7x) / (x - 9)

Производная: f'(x) = (2x(x - 9) - (x^2 + 7x)) / (x - 9)^2 = (2x^2 - 18x - x^2 - 7x) / (x - 9)^2 = (x^2 - 25x) / (x - 9)^2

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

x^2 - 25x = 0 x(x - 25) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = 25.

Шаг 2: Вычислим значения функции в найденных критических точках и на границах промежутка [-4, 1].

a) x = -4: f(-4) = (-4^2 + 7 * -4) / (-4 - 9) = (-16 - 28) / (-13) = 44 / 13 ≈ 3.3846

b) x = 0 (критическая точка): f(0) = (0^2 + 7 * 0) / (0 - 9) = 0 / -9 = 0

c) x = 1: f(1) = (1^2 + 7 * 1) / (1 - 9) = (1 + 7) / (-8) = -8 / 8 = -1

d) x = 25 (критическая точка): f(25) = (25^2 + 7 * 25) / (25 - 9) = (625 + 175) / 16 = 800 / 16 = 50

Шаг 3: Сравним полученные значения.

Наименьшее значение функции: -1 (достигается в точке x = 1).

Наибольшее значение функции: 50 (достигается в точке x = 25).

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [-4, 1] равно -1, а наибольшее значение - 50.