Question

Решить уравнение: 3sin²x+7sinx-10=0

Answer 1

3sin²x+7sinx-10=0Пусть sinx=t>0, тогда
3t^2+7t-10=0
D=49-4*3*(-10)=49+120 под корнем= корень из 169=13
t1=-7+13/6=1
t2=-7-13/6=-20/6
sinx=1
x=pi/2+2pk, k∈z

Answer 2

Для решения уравнения 3sin²x + 7sinx - 10 = 0, мы можем использовать замену переменной. Обозначим sinx за t, тогда уравнение примет вид:

3t² + 7t - 10 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно t:

Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b² - 4ac,

где a = 3, b = 7 и c = -10.

D = 7² - 4 * 3 * (-10) = 49 + 120 = 169.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

t₁ = (-b + √D) / 2a, t₂ = (-b - √D) / 2a.

t₁ = (-7 + √169) / (2 * 3) = (-7 + 13) / 6 = 6 / 6 = 1.

t₂ = (-7 - √169) / (2 * 3) = (-7 - 13) / 6 = -20 / 6 = -10 / 3.

Теперь нам нужно найти значения sinx, соответствующие этим двум значениям t.

1. Когда t = 1: sinx = t = 1.

2. Когда t = -10/3: sinx = t = -10/3.

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. sinx = 1,
2. sinx = -10/3.

Однако значение синуса не может быть больше 1 по модулю (|sinx| ≤ 1), так как синус является ограниченной функцией. Поэтому второе решение (sinx = -10/3) не является допустимым.

Поэтому окончательное решение уравнения: sinx = 1.

Чтобы найти значения углов x, при которых sinx = 1, можно вспомнить, что sin(90°) = 1 и sin(270°) = -1, а также что синус имеет период 360°.

Поэтому решение уравнения - это углы, равные:

x = 90° + 360°k, где k - целое число.

или

x = 270° + 360°k, где k - целое число.

Например, несколько решений:

x₁ = 90°, x₂ = 450° (90° + 360°), x₃ = 810° (90° + 2 * 360°), и т.д.

Обратите внимание, что здесь представлены не все решения, так как их бесконечно много из-за периодичности функции синуса.