Question

Упростите выражение sin^б-tg^2б/cos^2б-ctg^2б

Answer 1

Надеюсь условие я правильно понял

Answer 2

Для упрощения данного выражения, давайте вначале заменим тригонометрические функции через соответствующие им отношения:

1. $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$
2. $\tan^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}$
3. $\cot^2 \beta = \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta}$

Теперь подставим эти замены в исходное выражение:

$\frac{\sin^2 \beta - \left(\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}\right)}{\cos^2 \beta - \left(\frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta}\right)}$

Общий знаменатель дроби составляет $\cos^2 \beta \sin^2 \beta$, поэтому можно объединить числители и упростить выражение:

$\frac{\sin^2 \beta \cos^2 \beta - \sin^2 \beta}{\cos^2 \beta \sin^2 \beta - \cos^2 \beta} = \frac{\sin^2 \beta (\cos^2 \beta - 1)}{\cos^2 \beta (\sin^2 \beta - 1)}$

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ и $\tan^2 \beta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \beta}$:

$\frac{\sin^2 \beta (1 - \sin^2 \beta)}{\cos^2 \beta (1 - \cos^2 \beta)} = \frac{\sin^2 \beta \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta \sin^2 \beta} = \boxed{1}$

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.