Question

Найдите интервалы возрастания и убывания функции 4x^2+16x+3

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для найти интервалы возрастания и убывания функции $f(x) = 4x^2 + 16x + 3$, нужно определить знак производной функции. Интервалы возрастания соответствуют местам, где производная функции положительна, а интервалы убывания - местам, где производная отрицательна.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 + 16x + 3) = 8x + 16.$

2. Определим критические точки, где производная равна нулю: $8x + 16 = 0 \implies x = -2.$

Теперь, чтобы выяснить знак производной и определить интервалы возрастания и убывания, возьмем тестовые значения на отрезках, образованных критическими точками и концами области определения функции.

3. Построим таблицу знаков производной $f'(x)$ и определим интервалы возрастания и убывания:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & x<-2 & -2<x & x>-2 \\ \hline f'(x) & \text{Отрицательный} & \text{Ноль} & \text{Положительный} \\ \hline \text{f(x) (тенденция)} & \searrow & \text{Лок. минимум} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty, -2)$ (отрицательная производная) и возрастает на интервале $(-2, +\infty)$ (положительная производная).

Итак, интервалы возрастания: $(-2, +\infty)$. Интервалы убывания: $(-\infty, -2)$.