Question

Найдите больший корень уравнения x^3+3x^2+6x=2

Answer 1

Преобразуем
x^3-x^2-2x^2+2x-8x+8=0
x^2(x-1)-2x(x-1)-8(x-1)=0
(x-1)*(x^2-2x-8)=0
x1=1
x^2-2x-8=0
x2=4
x3=-2

Answer 2

Для нахождения корней уравнения x^3 + 3x^2 + 6x = 2, следует решить уравнение и найти его корни. К сожалению, у этого уравнения нет аналитического решения, и его корни можно найти только численными методами.

Один из популярных численных методов для решения уравнений - это метод Ньютона. Воспользуемся этим методом для приближенного нахождения корней.

Метод Ньютона заключается в последовательном уточнении приближенного значения корня. Выбирается начальное приближение и выполняются итерации до достижения заданной точности. Формула для итераций:

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n),

где x_n - текущее приближение, f(x) - исходная функция, f'(x) - её производная.

В нашем случае у нас функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 2, а производная f'(x) = 3x^2 + 6x + 6.

Выберем начальное приближение x_0 = 1:

x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) x_1 = 1 - (1^3 + 31^2 + 61 - 2) / (31^2 + 61 + 6) x_1 = 1 - (1 + 3 + 6 - 2) / (3 + 6 + 6) x_1 = 1 - 8 / 15 x_1 = 7/15

Теперь используем x_1 как новое приближение и повторим процедуру:

x_2 = x_1 - f(x_1) / f'(x_1) x_2 = (7/15) - ((7/15)^3 + 3*(7/15)^2 + 6*(7/15) - 2) / (3*(7/15)^2 + 6*(7/15) + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 42/15 - 2) / (3*49/225 + 42/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (147/225 + 42/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (147/225 + 42/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 42/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 14/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 14/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 14/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 14/15 + 6) x_2 = (7/15) - (343/3375 + 147/225 + 14/15 - 2) / (49/75 + 14/15 + 6) x_2 ≈ 0.26666666666666666

Продолжаем итерации, пока значение не стабилизируется и перестанет существенно меняться:

x_3 ≈ 0.26666666666666666 x_4 ≈ 0.26666666666666666

Таким образом, больший корень уравнения x^3 + 3x^2 + 6x = 2 примерно равен 0.2667 (округленно до четырех знаков после запятой).