Question

Решите уравнения: А) 4sin²x = 2cos x + 2 Б) sin 5x - sin x = cos 2x

Answer 1

Смотри ответ в файле, но там только а

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку:

А) 4sin²x = 2cos x + 2

Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества, чтобы выразить sin²x через cos x:

4(1 - cos²x) = 2cos x + 2

Распределим и приведем подобные члены:

4 - 4cos²x = 2cos x + 2

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, сгруппировав все члены на одной стороне:

4cos²x + 2cos x - 2 = 0

Для решения квадратного уравнения, давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac где a = 4, b = 2, c = -2.

D = 2² - 4 * 4 * (-2) D = 4 + 32 D = 36

Теперь найдем значения cos x с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

cos x = (-b ± √D) / 2a

cos x = (-2 ± √36) / 2 * 4 cos x = (-2 ± 6) / 8

Таким образом, получаем два значения для cos x:

1. cos x = (6 - 2) / 8 = 4 / 8 = 0.5
2. cos x = (-6 - 2) / 8 = -8 / 8 = -1

Теперь, чтобы найти значения sin x, воспользуемся тригонометрической тождеством:

sin²x + cos²x = 1

1. cos x = 0.5 sin²x + 0.5² = 1 sin²x + 0.25 = 1 sin²x = 1 - 0.25 sin²x = 0.75 sin x = √0.75 ≈ 0.866

2. cos x = -1 sin²x + (-1)² = 1 sin²x + 1 = 1 sin²x = 0 sin x = √0 = 0

Таким образом, получаем два решения для уравнения (А):

1. x ≈ arcsin(0.866) + 2πk, где k - целое число.
2. x = π + arcsin(0) + 2πk = π + πk, где k - целое число.

B) sin 5x - sin x = cos 2x

Для этого уравнения давайте используем тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его:

Используем тождество для разности синусов: sin A - sin B = 2 * cos((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

Теперь уравнение примет вид:

2 * cos(3x) * sin(2x) = cos(2x)

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(2x) ≠ 0

Тогда можно сократить на sin(2x) с обеих сторон:

2 * cos(3x) = 1

Теперь найдем значение cos(3x):

cos(3x) = 1/2

Для нахождения x применим обратную функцию арккосинуса:

3x = arccos(1/2)

x = (arccos(1/2))/3

x ≈ 0.5236 + 2πk/3, где k - целое число.

2. sin(2x) = 0

Тогда уравнение сводится к:

2 * cos(3x) * 0 = cos(2x)

Так как sin(2x) = 0, то 2x = nπ, где n - целое число.

Тогда x = nπ/2, где n - целое число.

Таким образом, получаем два решения для уравнения (B):

1. x ≈ 0.5236 + 2πk/3, где k - целое число.
2. x = nπ/2, где n - целое число.