Question

Докажите неравенство a^10+3/a^2+4/a>=8 при а>0

Answer 1

 При a не равному 0 
 a^10 + 3/a^2 + 4/a >= 8 
 (a^12+4a+3)/(a^2) >= 8 
 a^12+4a+3 >= 8a^2 
  
 По неравенству между средними  
 (a^12+4a+3) = a^12+a+a+a+a+1+1+1 >= 8*(a^12*a^4*1*1*1)^(1/8) = 8a^2 
 откуда и  a^12+4a+3 >= 8a^2   
 Которая выполняется для a>0 

Answer 2

Чтобы доказать данное неравенство, нам нужно применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом для выражения a^10 + 3/a^2 + 4/a.

Неравенство о средних арифметическом и геометрическом (AM-GM) утверждает, что для любых неотрицательных чисел x и y выполняется неравенство:

AM-GM: √(x * y) ≤ (x + y) / 2.

Теперь применим AM-GM к выражению a^10 + 3/a^2:

a^10 + 3/a^2 ≥ 2 * √(a^10 * (3/a^2)).

Далее упростим правую часть неравенства:

a^10 + 3/a^2 ≥ 2 * √(3 * a^8).

Теперь заметим, что для положительных чисел x и y выполняется неравенство:

x + y ≥ 2 * √(x * y).

Таким образом, для нашего выражения a^10 + 3/a^2 + 4/a мы можем применить AM-GM дважды:

a^10 + 3/a^2 + 4/a ≥ 2 * √(3 * a^8) + 2 * √(4/a * a) = 2 * √(3 * a^8) + 2 * √4.

Теперь нам нужно показать, что 2 * √(3 * a^8) + 2 * √4 ≥ 8:

2 * √(3 * a^8) + 2 * √4 = 2 * a^4 * √3 + 4.

Поскольку a > 0, то 2 * a^4 * √3 > 0. Также 4 > 0.

Теперь, чтобы неравенство выполнялось, достаточно показать, что 2 * a^4 * √3 + 4 ≥ 8:

2 * a^4 * √3 + 4 ≥ 8, 2 * a^4 * √3 ≥ 4, a^4 * √3 ≥ 2, a^4 ≥ 2 / √3.

Теперь возведем обе части неравенства в степень 4:

a^16 ≥ (2 / √3)^4, a^16 ≥ (2^4) / (3^2), a^16 ≥ 16 / 9.

Теперь избавимся от степени 16, извлекая квадратный корень обеих сторон:

√(a^16) ≥ √(16 / 9), a^8 ≥ 4 / 3.

Теперь возводим обе части неравенства в степень 1/8:

(a^8)^(1/8) ≥ (4 / 3)^(1/8), a ≥ (4 / 3)^(1/8).

Окончательное условие a ≥ (4 / 3)^(1/8) выполняется для a > 0.

Таким образом, мы доказали неравенство a^10 + 3/a^2 + 4/a ≥ 8 для a > 0.