Question

РЕШИТЕ СРОЧНО!!! №1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a)y=6 + 6x - x^2/2 - x^3/3 на ( -∞;0] б)y=sin x + 1 на {пи/6;пи} №2 Произведение двух положительных чисел равно 169. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

Answer 1

1
а)y`=6-x-x²
x²+x-6=0
x1+x2=-1 U x1*x2=-6
x1=2∉(-∞;0] U x2=-3
         _                        +
----------------(-3)-----------------[0]
                    min
ymin=6-18-9/2+9=7 1/2
ymax =6
б)y`=cosx
cosx=0
x=π/2
y(π/6)=1/2+1=1,5
y(π/2)=1+1=2  наиб
y(π)=0+1=1  наим
2
1 число х,второе число 169/х
f(x)=x+169/x x>0
f`(x)=1-169/x²=(x²-169)/x
x²-169=0
(x-13)(x+13)=0
x=13 U x=-13 не удов усл
1 число 13 и 2 число 13

Answer 2

1. а) у=6+6х-х²/2 - х³/3
у'=6-х-х²
найдем точки экстремума, для этого у'=0
6-х-х²=0
х²+х-6=0
по т. Виета
х1х2=-6
х1+х2=-1
х1=-3
х2=2 не пренадлежит (-∞;0]
у(-3)=6+6*(-3)-(-3)²/2-(-3)³/3=
=6-18-4,5+9=-7,5
у(0)=6+6*0-0²/2-0³/3=6.
уmin=y(-3)=-7,5
ymax=y(0)=6
1б) у=sinx+1
y'=cosx
cosx=0
x= π/2+πn, nєZ
х=π/2 є [π/6;π]
у(π/6)=sin(π/6)+1=½+1=1½
y(π/2)=sin(π/2)+1=1+1=2
y(π)=sin(π)+1=0+1=1
ymin=y(π)=1
ymax=y(π/2)=2.

2. числа положительные, а значит и сумма будет число положительное, про то, что числа натуральные ничего не сказано.
пусть одно число х>0, второе 169/х
тогда имеем
у=х+169/х, нужно найти при каких х, у будет наименьшее положительное.
найдем производную и прировняем к нулю
у'=1-169/х²=0
х=±13 точки экстремума, в них функция принимает наименьшее или наибольшее значения.
х=-13 не подходит по определению.
проверим х=13
у(13)=13+169/13=26
что бы понять, что это минимум, нужно определить где функция возрастает, а где убывает, для этого с промежутков (0;13) и (13;+∞) подставим по числу в производную и определим знак:
на участке (0;13) производная отрицательная, значит функция убывает, на участке (13;+∞) производная положительная, значит функция возрастает, а значит у(13)=у min, а значит х=13 первое число, второе 169/13=13

Answer 3

№1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функций на заданных промежутках:

a) Функция y = 6 + 6x - x^2/2 - x^3/3 на промежутке (-∞, 0]:

Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

y = 6 + 6x - x^2/2 - x^3/3

y' = 6 - x - x^2

Теперь приравняем производную к нулю:

6 - x - x^2 = 0

x^2 + x - 6 = 0

Теперь найдем значения x, которые удовлетворяют этому уравнению:

x = (-1 ± √(1 + 4 * 6)) / 2

x = (-1 ± √25) / 2

x = (-1 ± 5) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 2 и x₂ = -3.

Теперь найдем значения y для найденных x:

y₁ = 6 + 6 * 2 - 2^2/2 - 2^3/3 = 6 + 12 - 2 - 8/3 = 18 - 2 - 8/3 = 16 - 8/3 = 40/3 ≈ 13.33

y₂ = 6 + 6 * (-3) - (-3)^2/2 - (-3)^3/3 = 6 - 18 - 9/2 + 27/3 = -12 - 9/2 + 9 = -12 - 9/2 + 18/2 = -3/2 ≈ -1.5

Таким образом, на промежутке (-∞, 0] наибольшее значение функции равно ≈ 13.33, а наименьшее значение равно ≈ -1.5.

б) Функция y = sin(x) + 1 на промежутке [π/6, π]:

Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

y = sin(x) + 1

y' = cos(x)

Теперь приравняем производную к нулю:

cos(x) = 0

x = π/2 (это значение не принадлежит заданному промежутку [π/6, π], но это единственное значение, при котором производная равна нулю)

Теперь найдем значения y для найденного x:

y = sin(π/2) + 1 = 1 + 1 = 2

Таким образом, на промежутке [π/6, π] функция достигает наибольшего значения равного 2, и наименьшего значения равного 1 (в точках π/6 и π).

№2. Найдем два положительных числа, произведение которых равно 169 и сумма которых минимальна.

Пусть эти числа будут a и b, тогда a * b = 169.

Мы хотим найти значения a и b, при которых сумма a + b будет минимальной.

По свойству арифметического среднего и геометрического среднего, минимальное значение суммы a + b будет при равенстве a и b (это происходит, когда a = b).

Таким образом, чтобы сумма a + b была минимальной, a и b должны быть равными и быть положительными корнями уравнения a * b = 169.

Найдем корень уравнения a * b = 169:

a * b = 169

a = 169 / b

Теперь подставим это значение a в уравнение a * b = 169:

(169 / b) * b = 169

b = 169 / b

b^2 = 169

b = √169

b = 13

Теперь найдем значение a, подставив найденное значение b:

a = 169 / b = 169 / 13 ≈ 13

Таким образом, два положительных числа, произведение которых равно 169 и сумма которых минимальна, это 13 и 13.