Question

Помогите пожалуйста исследуйте функцию у=х^4-8х^2+5

Answer 1

X^4-8x^2+5=0
x^2=t
t^2-8t+5=0
D=64-20=44
t(1)=(8+√(44))/2
t(1)=(2*4+2√(11))/2
t(1)=(2*(4+√(11))/2
t(1)=4+√(11)
t(2)=(8-√(44))/2
t(2)=(2*4-2√(11))/2
t(2)=(2*(4-√(11))/2
t(2)=4-√(11)
x^2=4+√(11) или x^2=4-√(11)
t^2-8t+5=(t-4+√(11))*(t-4-√(11))
(t-4+√(11))*(t-4-√(11))=(t-4)^2-11
(t-4)^2-11=(x^2-4)^2-11=(x-2)*(x+2)-11
y=(x-2)*(x+2)-11

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию у = х^4 - 8х^2 + 5. Чтобы понять её свойства, мы проведем анализ функции, включающий нахождение корней, определение интервалов возрастания и убывания, анализ поведения на бесконечности и экстремумов.

1. Найдем корни функции: Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение: х^4 - 8х^2 + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно х^2. Решим его:

х^2 = (8 ± √(64 - 415)) / 2, х^2 = (8 ± √(44)) / 2, х^2 = (8 ± 2√11) / 2.

Таким образом, получаем два уравнения для х^2:

1. х^2 = (8 + 2√11) / 2 = 4 + √11,
2. х^2 = (8 - 2√11) / 2 = 4 - √11.

Теперь найдем значения х, подставив найденные х^2 обратно в уравнение:

1. х = ±√(4 + √11),
2. х = ±√(4 - √11).

Итак, корни функции у = х^4 - 8х^2 + 5: х = √(4 + √11), х = -√(4 + √11), х = √(4 - √11), х = -√(4 - √11).

2. Найдем интервалы возрастания и убывания: Для этого найдем производную функции у по х и определим её знаки на различных интервалах.

у' = 4х^3 - 16х.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

4х^3 - 16х = 0, 4х(x^2 - 4) = 0.

Таким образом, х = 0, х = 2 и х = -2 - это точки, которые могут быть экстремумами или точками перегиба.

Теперь составим таблицу знаков производной у' на различных интервалах:

|x < -2 | -2 < x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 | |у' < 0 | у' > 0 | у' < 0 | у' > 0 |

Из этой таблицы видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2), и убывает на интервалах (-2, 0) и (2, +∞).

3. Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции у по х и определим её знаки на различных интервалах.

у'' = 12х^2 - 16.

Теперь найдем точки, где вторая производная равна нулю:

12х^2 - 16 = 0, 12х^2 = 16, х^2 = 16 / 12, х^2 = 4/3, х = ±√(4/3).

Теперь составим таблицу знаков второй производной у'' на различных интервалах:

|x < -√(4/3) | -√(4/3) < x < √(4/3) | x > √(4/3) | |у'' > 0 | у'' < 0 | у'' > 0 |

Из этой таблицы видно, что функция имеет точку перегиба в точке x = -√(4/3) и x = √(4/3).

4. Найдем поведение функции на бесконечности: При x → ±∞, x^4 будет доминировать в уравнении, и функция будет стремиться к бесконечности.

5. Найдем экстремумы: Для этого проверим значение функции в найденных критических точках (точках, где производная равна нулю).

у(-√(4/3)) ≈ 4.3333, у(√(4/3)) ≈ 4.3333.

Таким образом, у = х^4 - 8х^2 + 5 имеет точки перегиба в x = -√(4/3) и x = √(4/3) и не имеет экстремумов.

Теперь мы провели исследование функции у = х^4 - 8х^2 + 5 и знаем её корни, интервалы возрастания и убывания, поведение на бесконечности, точки перегиба и экстремумы.