Question

Найти значения X , при которых значение производной функции f(x) =(x+1)/(x^2+3) равно нулю.

Answer 1

Y=(x+1)/(x²+3)=0
y`=((x+1)`*(x²+3)-(x+1)*(x²+3)`)/(x²+3)²=0
(1*(x²+3)-(x+1)*2x)/(x²+3)²=0
(x²+3-2x²-2x)/(x²+3)²=0
-(x²+2x-3)/(x²+3)=0   |×(-1)
(x²+2x-3)/(x²+3)=0
x²+3>0     ⇒
x²+2x-3=0   D=16
Ответ: x₁=1       x₂=-3.

Answer 2

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}$ равна нулю, нужно решить уравнение:

$f'(x) = 0$

Производная $f'(x)$ функции $f(x)$ находится путем дифференцирования по $x$. Давайте найдем $f'(x)$:

$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}$

Для удобства расчетов, представим $f(x)$ в виде:

$f(x) = (x + 1)(x^2 + 3)^{-1}$

Используем правило дифференцирования произведения:

$(uv)' = u'v + uv'$

где $u = (x + 1)$ и $v = (x^2 + 3)^{-1}$.

Тогда:

$u' = 1 \quad \text{(производная } (x + 1)\text{ по } x)$

$v' = -1 \cdot (x^2 + 3)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2} \quad \text{(производная } (x^2 + 3)^{-1}\text{ по } x)$

Теперь найдем $f'(x)$:

$f'(x) = (x + 1) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\right) + (x^2 + 3)^{-1} \cdot 1$

$f'(x) = -\frac{2x(x + 1)}{(x^2 + 3)^2} + \frac{1}{x^2 + 3}$

Теперь уравнение $f'(x) = 0$:

$0 = -\frac{2x(x + 1)}{(x^2 + 3)^2} + \frac{1}{x^2 + 3}$

Для удобства, домножим обе стороны на $(x^2 + 3)^2$:

$0 = -2x(x + 1) + \frac{(x^2 + 3)^2}{x^2 + 3}$

Упростим дробь:

$0 = -2x(x + 1) + (x^2 + 3)$

Распределение:

$0 = -2x^2 - 2x + x^2 + 3$

Сгруппируем члены:

$0 = -x^2 - 2x + 3$

Теперь, чтобы решить квадратное уравнение, приведем его к стандартному виду: $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$