Question

Найдите наименьшее значение функций y=f(x) на данном промежутке: 1) f(x)=2x^3-3/2x^2+2, 0;3 2) f(x)=2x^3+3x^2+3/2x+30, -3;3 Помогите пожалуйста. Даю 30 балов

Answer 1

1) f(x)=2x^3-3/2x^2+2, (0;3)
y`=6x²-3x=3x(2x-1)=0
x=0 U x=1/2
y(1/2)=1/4-3/8+2=1 7/8
2) f(x)=2x^3+3x^2+3/2x+30, (-3;3)
f`(x)=6x²+6x+1,5=0
4x²+4x+1=0
(2x+1)²=0
x=-1/2
y(-1/2)=-1/4+3/4-3/8+30=30 1/8

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функций на заданных промежутках, мы сначала найдем критические точки функций, а затем проверим значения функций в критических точках и на концах промежутков. Таким образом, определим наименьшее значение функций.

1. Функция f(x) = 2x^3 - (3/2)x^2 + 2 на промежутке [0, 3]

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x) и приравняем ее к нулю для поиска критических точек: f'(x) = d/dx (2x^3 - (3/2)x^2 + 2) f'(x) = 6x^2 - 3x

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 6x^2 - 3x = 0 3x(2x - 1) = 0

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1/2.

Шаг 3: Проверим значения функции в критических точках и на концах промежутка [0, 3]:

• Для x = 0: f(0) = 2(0)^3 - (3/2)(0)^2 + 2 = 2

• Для x = 1/2: f(1/2) = 2(1/2)^3 - (3/2)(1/2)^2 + 2 = 2 - (3/8) + 2 = 2 - 3/8 = 1 5/8 = 13/8

• Теперь проверим значения на концах промежутка:

• Для x = 0: f(3) = 2(3)^3 - (3/2)(3)^2 + 2 = 54 - (27/2) + 2 = 104/2 - 27/2 = 77/2

• Для x = 3: f(3) = 2(3)^3 - (3/2)(3)^2 + 2 = 54 - (27/2) + 2 = 104/2 - 27/2 = 77/2

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [0, 3] составляет 13/8.

2. Функция f(x) = 2x^3 + 3x^2 + (3/2)x + 30 на промежутке [-3, 3]

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x) и приравняем ее к нулю для поиска критических точек: f'(x) = d/dx (2x^3 + 3x^2 + (3/2)x + 30) f'(x) = 6x^2 + 6x + (3/2)

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 6x^2 + 6x + (3/2) = 0

Для упрощения, умножим всё на 2: 12x^2 + 12x + 3 = 0

Поделим все коэффициенты на 3: 4x^2 + 4x + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: (x + 1/2)(4x + 2) = 0

Таким образом, критическая точка: x = -1/2.

Шаг 3: Проверим значения функции в критической точке и на концах промежутка [-3, 3]:

• Для x = -1/2: f(-1/2) = 2(-1/2)^3 + 3(-1/2)^2 + (3/2)(-1/2) + 30 = -1/4 + 3/4 - 3/4 + 30 = 30

• Теперь проверим значения на концах промежутка:

• Для x = -3: f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 + (3/2)(-3) + 30 = -54 + 27 - (9/2) + 30 = 0

• Для x = 3: f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 + (3/2)(3) + 30 = 54 + 27 + (9/2) + 30 = 120

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [-3, 3] составляет 0.

Итак, наименьшие значения функций на заданных промежутках:

1. f(x) = 2x^3 - (3/2)x^2 + 2 на [0, 3]: 13/8
2. f(x) = 2x^3 + 3x^2 + (3/2)x + 30 на [-3, 3]: 0

Спасибо за баллы! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать.