Question

1-cos6x=tg3x с пояснениями, пожалуйста

Answer 1

1-cos6x=tg3x
2sin²3x-sin3x/cos3x=0
cos3x≠0⇒x≠π/6+πk/3,k∈z
2sin²3x*cos3x-sin3x=0
sin3x(2sin3xcos3x-1)=0
sin3x=0⇒x=πk/3,k∈z
sin6x-1=0⇒sin6x=1⇒x=π/12+πk/3,k∈z

Answer 2

Для решения уравнения 1 - cos(6x) = tg(3x), сначала нужно преобразовать его, используя тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

1. Используем тригонометрическое тождество: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Тогда, можно представить cos(6x) как: cos(6x) = cos(2 * 3x) = 1 - 2sin^2(3x).

2. Также, заменим tg(3x) на соответствующее выражение: tg(3x) = sin(3x) / cos(3x).

Теперь уравнение становится:

1 - (1 - 2sin^2(3x)) = sin(3x) / cos(3x).

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

1 - 1 + 2sin^2(3x) = sin(3x) / cos(3x).

2sin^2(3x) = sin(3x) / cos(3x).

4. Теперь, чтобы решить уравнение относительно sin(3x), приведем все слагаемые к общему знаменателю:

2sin^2(3x) = (sin(3x) * cos(3x)) / cos(3x).

5. Умножим обе стороны уравнения на cos(3x):

2sin^2(3x) * cos(3x) = sin(3x).

6. Применим тригонометрическое тождество: sin(2θ) = 2sin(θ) * cos(θ).

Тогда, можно записать:

sin(2 * 3x) = sin(3x).

7. Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством для sin(2θ):

2sin(3x) * cos(3x) = sin(3x).

8. Теперь, чтобы решить уравнение относительно sin(3x), перенесем все слагаемые на одну сторону:

2sin(3x) * cos(3x) - sin(3x) = 0.

9. Факторизуем sin(3x):

sin(3x) * (2cos(3x) - 1) = 0.

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Чтобы решить уравнение, приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения относительно sin(3x) и cos(3x):

а) sin(3x) = 0: Это уравнение имеет решение sin(3x) = 0, что возможно при 3x = 0 + kπ, где k - целое число.

б) 2cos(3x) - 1 = 0: Решаем относительно cos(3x): 2cos(3x) = 1, cos(3x) = 1/2.

Угол, удовлетворяющий этому условию, это 3x = π/3 + 2kπ или 3x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь, чтобы найти значения x, разделим каждое из полученных решений на 3:

a) x = π/9 + 2kπ/3. б) x = 5π/9 + 2kπ/3.

Где k - целое число, которое может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Это даст нам все возможные решения уравнения.