Question

Найдите точки экстремума функции f(x) =x^3/3-x^2-3x+1

Answer 1

F(x) =x^3/3-x^2-3x+1
1)D(y): R (от минус бесконечности, до плюс бесконечности)
2)y'=x²-2x-3
3)x²-2x-3=0
D=4-4×1×(-3)=16; √16=4
x1= 2+4/2=3
x2= 2-4/2=-1
4)y min=3
y max=-1

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить тип экстремума (минимум или максимум).

Итак, дана функция: $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1$

1. Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1\right)$ $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(1)$ $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3$ $f'(x) = x^2 - 2x - 3$

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизируя, получим: $(x - 3)(x + 1) = 0$

Отсюда следует, что $x = 3$ или $x = -1$.

3. Чтобы определить тип экстремума в этих точках, найдем вторую производную функции $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 2x - 3)$ $f''(x) = \frac{d}{dx}(2x - 2)$ $f''(x) = 2$

4. Теперь подставим критические точки во вторую производную:

• Для $x = 3$: $f''(3) = 2$ Так как $f''(3) > 0$, то функция имеет минимум в точке $x = 3$.

• Для $x = -1$: $f''(-1) = 2$ Так как $f''(-1) > 0$, то функция имеет минимум в точке $x = -1$.

Итак, у функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1$ есть две точки экстремума: $x = 3$ (минимум) и $x = -1$ (минимум).