Question

Найдите самый маленький плюсовой корень уровнения 1-sin2x=(cos 2x+sin2x)в квадрате

Answer 1

$1-sin2x=(cos2x+sin2x)^2 \\ 1-sin2x=cos^22x+2cos2xsin2x+sin^22x$
$cos^22x+sin^22x=1$
$1-sin2x=1+2cos2xsin2x \\ 2cos2xsin2x+sin2x=0 \\ sin2x(2cos2x+1)=0 \\ \\ sin2x=0 \\ 2x= \pi k , \ k \in Z \\ x= \frac{ \pi k}{2}, \ k \in Z \\ \\ cos2x=- \frac{1}{2} \\ 2x=\pm \frac{2 \pi }{3}+2 \pi k , k \in Z \\ x= \pm \frac{ \pi }{3}+ \pi k , k \in Z$

если во второй корень подставить 0, то получится x=pi/3
самый маленький положительный корень это
$x= \frac{ \pi }{3}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 - sin^2(x) = (cos(2x) + sin^2(x))^2 и найдем его положительные корни.

1. Начнем с упрощения уравнения: 1 - sin^2(x) = (cos(2x) + sin^2(x))^2

2. Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)): 1 - (1 - cos^2(x)) = (cos(2x) + (1 - cos^2(x)))^2

3. Раскроем квадрат на правой стороне уравнения: 1 - 1 + cos^2(x) = (cos(2x) + 1 - cos^2(x))^2

4. Упростим выражение: cos^2(x) = (cos(2x) + 1 - cos^2(x))^2

5. Теперь заменим cos(2x) на 2cos^2(x) - 1: cos^2(x) = (2cos^2(x) - 1 + 1 - cos^2(x))^2

6. Сократим некоторые слагаемые: cos^2(x) = (cos^2(x))^2

7. Обозначим cos^2(x) за t: t = t^2

8. Перепишем уравнение в квадратном виде: t^2 - t = 0

9. Факторизуем уравнение: t(t - 1) = 0

10. Найдем корни: t = 0 или t - 1 = 0

    Для t = 0: cos^2(x) = 0 cos(x) = 0

    Для t - 1 = 0: t = 1 cos^2(x) = 1 cos(x) = ±1

Таким образом, уравнение имеет три решения:

1. cos(x) = 0
2. cos(x) = 1
3. cos(x) = -1

Чтобы найти положительные корни, мы рассмотрим только первое и второе решение:

1. cos(x) = 0: Это уравнение имеет корни при x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. cos(x) = 1: Это уравнение имеет корень при x = 2kπ, где k - целое число.

Самый маленький положительный корень у нас будет x = π/2.