Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-3x^2+7 на отрезке [-1/2; 3]

Answer 1

Одз:-беск;+бесконечности
ищем производную
y`=3x^2-6x
y`=0
3x^2-6x=0
3x(x^2-2)=0
3x=0 или x^2-2=0
x1=0 или x^2=2
x2,3=+-(корень из 2)
минус корень из 2 не подходит
y(-1/2)=-1/8-3/4+7=6.125
y(корень из 2)=3.828 MIN +++
y(3)=7 MAX

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 - 3x^2 + 7 на отрезке [-1/2; 3], нужно проверить значения функции в концах отрезка (то есть при x = -1/2 и x = 3) и в стационарных точках внутри отрезка (где производная функции равна нулю).

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При x = -1/2: y = (-1/2)^3 - 3(-1/2)^2 + 7 = -1/8 - 3/4 + 7 = 7 - 1/8 - 3/4 = 49/8 - 3/4 = (49 - 6)/8 = 43/8.
• При x = 3: y = 3^3 - 3 * 3^2 + 7 = 27 - 27 + 7 = 7.

2. Найдем стационарные точки, где производная функции равна нулю: y = x^3 - 3x^2 + 7 y' = 3x^2 - 6x

Для найти x, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 2.

Теперь найдем значения функции в этих стационарных точках:

• При x = 0: y = 0^3 - 3 * 0^2 + 7 = 7.
• При x = 2: y = 2^3 - 3 * 2^2 + 7 = 8 - 12 + 7 = 3.

Таким образом, наименьшее значение функции y = x^3 - 3x^2 + 7 на отрезке [-1/2; 3] равно 3 и достигается при x = 2.