Question

Докажите что при любом целом n выражение: а) (n+13)^2-n^2 делится на 13 б) (2n-5)^2-(2n+1)^2 делится на 24 в) (3n+1)^2-(n-1)^2 делится на 16 г) 2n^3-2n делится на 12 ^-это степень

Answer 1

А) (n+13)²-n²=
=n²+2*13*n+13²-n²=
=2n*13+13*13=
=13(2n+13) делится на 13, потому что хотя бы один множитель делится на 13.
б) (2n-5)²-(2n+1)²=
=4n²-2*2n*5+5²-(4n²+2*2n*1+1²)=
=4n²-20n+25-4n²-4n-1=
=-24n+24=
=24(1-n) делится на 24, потому что один из множителей делится на 24.
в) (3n+1)²-(n-1)²=
=9n²+2*3n*1+1²-(n²-2*n*1+1²)=
=9n²+6n+1-n²+2n-1=
=8n²+8n=8n(n+1).
Рассмотрим два случая.
По условию n целое, пусть n=2k-1 нечетноe, тогда n+1=2k целое четное,
тогда 8n(n+1)=8(2k-1)*2k=16k(2k-1) делится на 16.
Пусть n=2k четное, соответственно n+1=2k+1 нечетное,
тогда 8n(n+1)=8*2k(2k+1)=16k(2k+1) делится на 16.
г) 2n³-2n=2n(n²-1)=2n(n-1)(n+1)
n-1, n, n+1 три целых последовательных числа, хотя бы одно из них является четным и кратно 2, а одно точно кратно 3, значит они содержат в себе простые множители 2 и 3, пусть n=2k, n-1=2k-1, n+1=2k+1=3t, а значит
2n(n-1)(n+1)=2*2k(2k-1)3t=12kt(2k-1) делится на 12.

Answer 2

Чтобы доказать, что данные выражения делятся на соответствующие числа, мы можем воспользоваться свойствами алгебры и сократить выражения.

а) Докажем, что выражение (n + 13)^2 - n^2 делится на 13 при любом целом n.

(n + 13)^2 - n^2 = n^2 + 2 * n * 13 + 13^2 - n^2 = 26n + 169

Теперь докажем, что 26n + 169 делится на 13.

26n + 169 = 13 * 2n + 169 = 13 * (2n + 13)

Таким образом, выражение (n + 13)^2 - n^2 делится на 13 при любом целом n.

б) Докажем, что выражение (2n - 5)^2 - (2n + 1)^2 делится на 24 при любом целом n.

(2n - 5)^2 - (2n + 1)^2 = 4n^2 - 20n + 25 - (4n^2 + 4n + 1) = -24n + 24

Теперь докажем, что -24n + 24 делится на 24.

-24n + 24 = 24 * (-n + 1)

Таким образом, выражение (2n - 5)^2 - (2n + 1)^2 делится на 24 при любом целом n.

в) Докажем, что выражение (3n + 1)^2 - (n - 1)^2 делится на 16 при любом целом n.

(3n + 1)^2 - (n - 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 - (n^2 - 2n + 1) = 8n^2 + 8n

Теперь докажем, что 8n^2 + 8n делится на 16.

8n^2 + 8n = 8n * (n + 1)

Таким образом, выражение (3n + 1)^2 - (n - 1)^2 делится на 16 при любом целом n.

г) Докажем, что выражение 2n^3 - 2n делится на 12 при любом целом n.

2n^3 - 2n = 2n * (n^2 - 1)

Мы знаем, что разность кубов n^2 - 1 делится на (n - 1), поскольку (n - 1) * (n^2 + n + 1) = n^3 - 1. Также заметим, что n^2 + n + 1 является целым числом при любом целом n. Поэтому 2n^3 - 2n делится на 2n и на (n - 1), а значит, оно также делится на 12.

Таким образом, все данные выражения делятся на указанные числа при любом целом n.