Question

Із пункту A до пункту B, відстань між якими дорівнює 360 км, виїхали одночасно два автомобілі. Через 3 години з'ясувалося, що перший із них проїхав на 30 км більше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо на весь шлях перший автомобіль витратив на півгодини менше, ніж другий.

Answer 1

Дано:                                          Решение:
S = 360 км
t₁ = 3 ч                       Скорость первого автомобиля:     v₁ = S₁/3  (км/ч)             
S₁ = S₂+30               Скорость второго автомобиля:      v₂ = (S₁-30)/3  (км/ч)
t₂' = t₁' + 0,5 ч
----------------------       Время прохождения всего пути:
Найти:                                        первый автомобиль:       t₁' = (360*3)/S₁  (ч)
v₁ - ?; v₂ - ?                                второй автомобиль:        t₂' = (360*3)/(S₂-30)  (ч)
                                  Так как t₂' = t₁' + 0,5 ч, то:

                      $\displaystyle \frac{1080}{S_{1}}= \frac{1080}{S_{1}-30}-0,5 \\ \\ \frac{1080}{S_{1}}= \frac{1080-0,5S_{1}+15}{S_{1}-30} \\\\ S_{1}(1095-0,5S_{1})=1080(S_{1}-30) \\1095S_{1}-0,5S_{1}^{2}=1080S_{1}-32400 \\ S_{1}^{2}-30S_{1}-64800=0 \\\\D=b^{2}-4ac=900+259200=260100=510^{2} \\ \\ S_{1}= \frac{-b+ \sqrt{D}}{2a}= \frac{30+510}{2}=270 \\ \\ S_{2}=S_{1}-30=240$

Тогда:
                 $\displaystyle v_{1}= \frac{S_{1}}{t_{1}}= \frac{270}{3}=90 \\ \\v_{2}= \frac{S_{2}}{t_{1}}= \frac{240}{3}=80$

Ответ: Скорость первого автомобиля -  90 км/ч; второго - 80 км/ч.

Answer 2

Давайте позначимо швидкість першого автомобіля як V1 (в км/год) і швидкість другого автомобіля як V2 (в км/год).

Оскільки обидва автомобілі виїхали одночасно, пройшовши 3 години:

Відстань, яку проїхав перший автомобіль = V1 * 3

Відстань, яку проїхав другий автомобіль = V2 * 3

Також з умови задачі відомо, що перший автомобіль проїхав на 30 км більше, ніж другий. Тобто:

V1 * 3 = V2 * 3 + 30 (1)

Також відомо, що перший автомобіль витратив на півгодини менше, ніж другий, на проїзд усього шляху:

Час першого автомобіля = Час другого автомобіля - 0.5 години

Так як час = відстань / швидкість, то:

360 км / V1 = 360 км / V2 - 0.5 (2)

Тепер маємо систему рівнянь (1) і (2), яку можна вирішити.

Рішення:

З (1): V1 * 3 = V2 * 3 + 30

З (2): 360 км / V1 = 360 км / V2 - 0.5

Спростимо (2):

360 км / V1 = 360 км / V2 - 0.5

Помножимо обидві частини на V1 * V2, щоб позбутися знаменника:

360 км * V2 = 360 км * V1 - 0.5 * V1 * V2

Перенесемо все в одну сторону:

0.5 * V1 * V2 + 360 км * V2 = 360 км * V1

Тепер з (1) можемо виразити V1 * 3:

V1 * 3 = V2 * 3 + 30

V1 * 3 - V2 * 3 = 30

3 * (V1 - V2) = 30

V1 - V2 = 10 (3)

Знову підставимо (3) у наше спрощене рівняння:

0.5 * V1 * V2 + 360 км * V2 = 360 км * V1

0.5 * (V2 + 10) * V2 + 360 км * V2 = 360 км * (V2 + 10)

Помножимо обидві частини на 2, щоб позбутися дробу:

(V2 + 10) * V2 + 720 км * V2 = 720 км * (V2 + 10)

Розкриємо дужки:

V2^2 + 10V2 + 720 км * V2 = 720 км * V2 + 7200 км

Спростимо:

V2^2 + 10V2 = 7200 км

Тепер перенесемо все в одну сторону:

V2^2 + 10V2 - 7200 = 0

Тепер маємо квадратне рівняння. Розв'яжемо його за допомогою квадратного кореня:

V2 = (-10 ± √(10^2 - 4 * 1 * (-7200))) / 2 * 1

V2 = (-10 ± √(100 + 28800)) / 2

V2 = (-10 ± √28900) / 2

V2 = (-10 ± 170) / 2

Тепер розглянемо обидва варіанти:

1. V2 = (-10 + 170) / 2

V2 = 160 / 2

V2 = 80 км/год

2. V2 = (-10 - 170) / 2

V2 = -180 / 2

V2 = -90 км/год

Від'ємна швидкість не має фізичного сенсу, тому що не можна мати від'ємну швидкість. Таким чином, другий автомобіль рухається зі швидкістю 80 км/год.

Тепер, щоб знайти швидкість першого автомобіля (V1), підставимо значення V2 у (3):

V1 - 80 = 10

V1 = 10 + 80

V1 = 90 км/год

Отже, перший автомобіль рухається зі швидкістю 90 км/год, а другий - зі швидкістю 80 км/год.