Question

Решить уравнение 27ˣ=9³ˣ⁻²

Answer 1

$27^x=9^{3x-2} \\ 3^{3x}=3^{2(3x-2)} \\ \\ 3x=2(3x-2) \\ 3x=6x-4 \\ 3x=4 \\ x= \frac{4}{3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду:

27ˣ = 9³ˣ⁻²

Мы можем представить число 9 как 3²:

27ˣ = (3²)³ˣ⁻²

Теперь воспользуемся свойствами степеней:

а) (a^b)^c = a^(b * c) б) a^b * a^c = a^(b + c)

Тогда:

(3²)³ˣ⁻² = 3^(2 * 3ˣ⁻²) = 3^(6ˣ⁻²)

Исходное уравнение принимает вид:

27ˣ = 3^(6ˣ⁻²)

Теперь мы можем представить 27 как 3³:

3³ˣ = 3^(6ˣ⁻²)

Для того чтобы решить уравнение, равенство логарифмируем обеих сторон по основанию 3:

log₃(3³ˣ) = log₃(3^(6ˣ⁻²))

Теперь воспользуемся свойством логарифма: logₐ(a^b) = b

3ˣ = 6ˣ⁻²

Теперь разделим обе стороны уравнения на 3ˣ:

1 = 6ˣ⁻² / 3ˣ

Теперь умножим обе стороны на 3ˣ:

3ˣ = 6ˣ⁻²

Теперь заметим, что обе стороны уравнения имеют одну и ту же основание (3), следовательно, экспоненты должны быть равны:

x = -2

Таким образом, решением уравнения 27ˣ = 9³ˣ⁻² является x = -2.