Question

Sin2x=2cos²x Помогите решить

Answer 1

По формуле раскладываем синус двойного угла:
sin2x=2*cosx*sinx
Получаем:
2*sinx*cosx-2cos^2(x)=0
2cosx*(sinx-cosx)=0
_
| cosx = 0
| sinx-cosx=0
_
1) cosx = 0
X= pi/2 + pi*k, где k принадлежит Z
2) sinx-cosx=0
sinx=cosx | : cosx
tgx = 1
x = pi/4 + pi*k, где k принадлежит Z
Ответ: pi/2 + pi*k, где k принадлежит Z
pi/4 + pi*k, где k принадлежит Z

Answer 2

Sin(2x) = 2cos²(x)
2cos²(x) = 1 + cos(2x)
sin(2x) = 1 + cos(2x)
sin(2x) - cos(2x) = 1
Введём дополнительный аргумент:
cos(φ) = sin(φ) = 1/sqrt(2)
sqrt(2) * (sin(2x)cos(φ) - cos(2x)sin(φ)) = 1
sin(2x - φ) = 1/sqrt(2)
2x - φ = (-1)ⁿ π/4 + πn, n ∈ Z
φ = arcsin(1/sqrt(2)) = π/4
x = (-1)ⁿ π/8 + π/8 + πn/2, n ∈ Z
Также, необходимо поставить ОДЗ:sin(2x) ≥ 0x ∈ [2πn; π + 2πn], n ∈ Z

Перебором получим:
x = π/2 + πa, a ∈ Z
x = π/4 + πb, b ∈ Z

Answer 3

Для решения уравнения sin(2x) = 2cos²(x), воспользуемся тригонометрическими тождествами. Одним из таких тождеств является тригонометрическая формула двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Теперь уравнение примет вид:

2sin(x)cos(x) = 2cos²(x).

Для упрощения рассмотрим следующее:

2cos²(x) = 2cos(x)cos(x) = 2cos(x) * (1 - sin²(x)),

по тригонометрической формуле для cos²(x).

Таким образом, уравнение становится:

2sin(x)cos(x) = 2cos(x) * (1 - sin²(x)).

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Когда cos(x) = 0:

Если cos(x) = 0, то sin(x) ≠ 0, иначе sin(2x) тоже был бы равен 0. Поэтому sin(x)cos(x) = 0, и мы получаем уравнение:

0 = 2cos(x) * (1 - sin²(x)).

Так как cos(x) = 0, то уравнение упрощается до:

0 = 0.

В данном случае, любое значение x является решением уравнения.

2. Когда cos(x) ≠ 0:

В этом случае, мы можем делить уравнение на cos(x):

2sin(x) = 2 * (1 - sin²(x)).

Раскроем скобки:

2sin(x) = 2 - 2sin²(x).

Теперь приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

2sin²(x) + 2sin(x) - 2 = 0.

Разделим уравнение на 2:

sin²(x) + sin(x) - 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 1, c = -1:

D = 1² - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5.

Таким образом, у нас есть два решения для sin(x):

sin(x) = (-b ± √D) / 2a.

1. sin(x) = (-1 + √5) / 2 ≈ 0.618.
2. sin(x) = (-1 - √5) / 2 ≈ -1.618.

Однако, sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому второй корень не подходит.

Теперь найдем cos(x) используя sin(x):

cos(x) = ±√(1 - sin²(x)).

cos(x) = ±√(1 - (0.618)²) ≈ ±√(1 - 0.382) ≈ ±√0.618 ≈ ±0.786.

Таким образом, у нас есть две пары решений:

1. x ≈ arcsin(0.618) ≈ 38.22°, соответствующее cos(x) ≈ 0.786.
2. x ≈ π - arcsin(0.618) ≈ 141.78°, соответствующее cos(x) ≈ -0.786.

Итак, два основных решения уравнения sin(2x) = 2cos²(x):

1. x ≈ 38.22°.
2. x ≈ 141.78°.

Обратите внимание, что тригонометрические функции имеют периодичность 360° (или 2π радиан), поэтому можно добавить к каждому из этих решений n * 360° (или n * 2π радиан), где n - любое целое число, и получить бесконечное множество решений.