Question

Решите в целых числах 175y^2=252x^2 x^2y^2≤300

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений и неравенства, начнем с упрощения уравнения:

1. Уравнение: 175y^2 = 252x^2

Так как нам нужно найти целочисленные решения, то можно заметить, что коэффициенты 175 и 252 имеют общий делитель 7. Вынесем общий делитель из уравнения:

7y^2 = 36x^2

Теперь, чтобы левая сторона была полным квадратом, домножим уравнение на 7:

49y^2 = 252x^2

2. Неравенство: x^2y^2 ≤ 300

Теперь мы имеем систему уравнений и неравенств:

49y^2 = 252x^2 x^2y^2 ≤ 300

Теперь рассмотрим возможные значения x и y для целочисленных решений:

Подставим y^2 из первого уравнения во второе:

x^2(49y^2) ≤ 300

Подставим выражение 252x^2 из первого уравнения во второе:

x^2(252x^2) ≤ 300

Теперь объединим и упростим:

49x^2y^2 ≤ 300

Теперь мы знаем, что 49x^2y^2 должно быть меньше или равно 300, а также из первого уравнения, что 49x^2y^2 = 252x^2, следовательно:

252x^2 ≤ 300

Разделим обе стороны на 252:

x^2 ≤ 300/252

x^2 ≤ 25/21

Теперь, так как нам нужны целочисленные решения, рассмотрим возможные значения x:

x = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5.

Подставим эти значения x в первое уравнение и найдем соответствующие значения y:

При x = 0: 175y^2 = 0, следовательно, y = 0.

При x = ±1: 175y^2 = 252, что не имеет целочисленных решений.

При x = ±2: 175y^2 = 1008, что не имеет целочисленных решений.

При x = ±3: 175y^2 = 2268, что не имеет целочисленных решений.

При x = ±4: 175y^2 = 4032, что не имеет целочисленных решений.

При x = ±5: 175y^2 = 6300, что не имеет целочисленных решений.

Таким образом, единственным целочисленным решением этой системы уравнений и неравенства является x = 0, y = 0.