Question

Как найти максимальное значение x^2/(1+9x^4 ) без помощи производной

Answer 1

X^2/(1+9x^4)=k
1+9x^4>0 при любых x
x^2=t>=0
Значит
t/(1+(3t)^2)>=0
Для любых t>=0
t/(1+9t^2)=k
t=k+k*9t^2
9t^2*k-t+k=0
Так как k>0 , то ветви направлены вверх , значит D=1-36k^2>=0, откуда k<=1/6

Answer 2

Для нахождения максимального значения функции $\frac{x^2}{1+9x^4}$ без использования производной, можно воспользоваться методом анализа функции и использовать некоторые свойства функций. В данном случае, мы можем воспользоваться свойствами ограниченности функции и асимптотами.

Давайте рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2}{1+9x^4}$.

1. Ограниченность функции: Обратите внимание, что функция всегда неотрицательна, так как числитель $x^2$ и знаменатель $1+9x^4$ всегда неотрицательны. Кроме того, когда $x$ стремится к бесконечности или минус бесконечности, знаменатель становится очень большим, и функция стремится к 0.

2. Поведение на асимптотах: Посмотрим, что происходит с функцией, когда $x$ стремится к бесконечности или минус бесконечности. В данном случае, функция имеет вертикальные асимптоты $x = 0$ и $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, так как именно эти значения обнуляют знаменатель.

Теперь давайте рассмотрим поведение функции между этими асимптотами. Когда $x$ находится между 0 и $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, функция всегда положительна. Так как числитель $x^2$ всегда положителен, и знаменатель $1+9x^4$ всегда положителен на этом интервале.

Теперь мы можем заключить, что максимальное значение функции будет достигаться в точке, ближайшей к асимптоте $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

3. Поиск максимального значения: Для определения точного значения $x$ и соответствующего максимального значения функции $\frac{x^2}{1+9x^4}$, решим уравнение:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} = x$

Ответ: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и максимальное значение функции $\frac{x^2}{1+9x^4}$ равно:

$\frac{(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2}{1+9(-\frac{1}{\sqrt{3}})^4}$