Question

При каких значениях параметра b уравнение 8х^2-bx+2=0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра b укажите соответствующий корень уравнения.

Answer 1

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю.
$8x^2-bx+2=0 \\ D=b^2-4*8*2=b^2-64=0 \\ b^2-64=0 \\ (b-8)(b+8)=0 \\ b_1=8;b_2=-8$
Решим уравнения подставив параметр.
$8x^2-8x+2=0 \\ D=0 \\ x=\frac{8}{16}=\frac{1}{2} \\ \\ 8x^2+8x+2=0 \\ D=0 \\ x=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$

При параметре b=8 корень уравнения 1/2; при параметре b=-8 корень уравнения -1/2.

Answer 2

Уравнение вида $8x^2 - bx + 2 = 0$ является квадратным уравнением, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Общая формула для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит следующим образом: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен равняться нулю, то есть $b^2 - 4ac = 0$. В нашем случае $a = 8, b = -b, c = 2$, поэтому: $b^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 0$ $b^2 - 64 = 0$ $b^2 = 64$ $b = \pm 8$

Таким образом, при значениях параметра $b = 8$ или $b = -8$ уравнение $8x^2 - bx + 2 = 0$ имеет ровно один корень. Чтобы найти соответствующий корень, подставим значение $b$ в общую формулу для квадратного уравнения:

1. При $b = 8$: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2}}{2 \cdot 8} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 64}}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

2. При $b = -8$: $x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2}}{2 \cdot 8} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень $x = -\frac{1}{2}$ при $b = 8$ и $x = \frac{1}{2}$ при $b = -8$.