Question

Помогите пожалуйста.....найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^4 и y=2-x^2 очень срочно

Answer 1

Находим крайние точки фигуры, приравняв функции:
x^4 = 2 - x^2,
2-x^2-x^4 = 0.
Сделаем замену x^2 = t.
Получаем квадратное уравнение 2 - t - t² = 0  или t² + t - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;t_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2 отрицательное значение не принимаем.
Получили 2 точки х = 1 и х = -1.
$S= \int\limits^1_{-1} {(2-x^2-x^4)} \, dx =2x- \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} |_{-1}^1=$ $2- \frac{1}{3}- \frac{1}{5} -(-2+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} )=4- \frac{16}{15} = \frac{44}{15} .$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^4 и y=2-x^2.

Для начала, давайте построим графики этих двух функций, чтобы увидеть, как они выглядят:

График функции y = x^4:

perlCopy code
   ^
  |                  /
  |                /
  |              /
  |            /
  |          /
  |        /
  |      /
  |    /
  |  /
  +------------------------>

График функции y = 2 - x^2:

luaCopy code
   ^
  |\
  | \
  |  \
  |   \
  |    \
  |     \
  |      \
  |       \
  |        \
  |         \
  +------------------------>

Теперь вам нужно найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить интервал, на котором они образуют фигуру. Для этого приравняем функции друг другу и решим уравнение:

x^4 = 2 - x^2

x^4 + x^2 - 2 = 0

Это уравнение квадратное относительно x^2, так что давайте введем замену u = x^2:

u^2 + u - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для u:

(u + 2)(u - 1) = 0

Отсюда получаем два значения u: u = -2 и u = 1.

Теперь вернемся к замене и найдем значения x:

1. u = x^2 = -2 x = sqrt(-2) - это мнимое число, которое нас сейчас не интересует.

2. u = x^2 = 1 x = sqrt(1) = 1 и x = -sqrt(1) = -1

Таким образом, функции пересекаются в точках (1, 1) и (-1, 1).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Поскольку одна из кривых находится выше другой на всем интервале между -1 и 1, нам нужно разбить площадь на два участка.

Площадь фигуры = Площадь_1 + Площадь_2

Площадь_1: Фигура между линиями y = x^4 и y = 2 - x^2 на интервале [-1, 1].

Площадь_2: Фигура между линиями y = 2 - x^2 и x-осью на интервале [-∞, -1] и [1, +∞].

Теперь найдем площади этих двух фигур.

1. Площадь_1: Интеграл от (2 - x^2) до (x^4) по x на интервале [-1, 1]:

Площадь_1 = ∫(2 - x^2) - x^4 dx, где верхний предел интегрирования равен 1, а нижний -1.

Площадь_1 = ∫(2 - x^2) - x^4 dx = [2x - (x^3)/3] from -1 to 1

Площадь_1 = [2(1) - (1^3)/3] - [2(-1) - ((-1)^3)/3]

Площадь_1 = [2 - 1/3] - [-2 + 1/3] = 2 2/3 или 8/3

2. Площадь_2: Интеграл от (2 - x^2) до 0 по x на интервале [-∞, -1]:

Площадь_2 = ∫(2 - x^2) dx, где верхний предел интегрирования равен 0, а нижний -∞.

Площадь_2 = [2x - (x^3)/3] from -∞ to 0

Площадь_2 = [0 - (0^3)/3] - [-∞ - (∞^3)/3] = 0 - 0 = 0

Также, площадь справа от оси y (от 0 до +∞) также равна 0.

Теперь суммируем площади:

Площадь фигуры = Площадь_1 + Площадь_2 Площадь фигуры = 8/3 + 0 Площадь фигуры = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^4 и y=2-x^2 на интервале [-1, 1], равна 8/3 или около 2.67 (приближенно).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать.