Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремому функції f(x)=12+72x+3x^2-x^3

Answer 1

Решение во вложении

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання, а також точки екстремуму функції, спершу потрібно знайти похідну функції f(x) і розв'язати рівняння f'(x) = 0 для знаходження точок, в яких похідна дорівнює нулю. Після цього будемо вивчати знаки похідної на різних проміжках, щоб з'ясувати, коли функція зростає і спадає.

1. Знаходження похідної: Похідну функції f(x) знайдемо, застосовуючи правило диференціювання для кожного елементу виразу: f(x) = 12 + 72x + 3x^2 - x^3

f'(x) = d/dx (12) + d/dx (72x) + d/dx (3x^2) - d/dx (x^3) f'(x) = 0 + 72 + 6x - 3x^2

2. Знаходження точок екстремуму: Для знаходження точок екстремуму розв'яжемо рівняння f'(x) = 0: 0 = 72 + 6x - 3x^2

3x^2 - 6x - 72 = 0 x^2 - 2x - 24 = 0

(x - 6)(x + 4) = 0

x = 6 або x = -4

3. Вивчення знаків похідної: Тепер розділімо вісь x на три інтервали: (мінус нескінченність, -4), (-4, 6), (6, плюс нескінченність).

3.1. Інтервал (-∞, -4): Підставимо довільне значення x < -4 у похідну f'(x) = 3x^2 - 6x - 72, наприклад, x = -5: f'(-5) = 3(-5)^2 - 6(-5) - 72 f'(-5) = 75 + 30 - 72 f'(-5) = 33 > 0

На цьому інтервалі похідна дорівнює додатньому числу, тому функція f(x) зростає.

3.2. Інтервал (-4, 6): Підставимо довільне значення x між -4 і 6 у похідну f'(x), наприклад, x = 0: f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 72 f'(0) = -72 < 0

На цьому інтервалі похідна дорівнює від'ємному числу, тому функція f(x) спадає.

3.3. Інтервал (6, +∞): Підставимо довільне значення x > 6 у похідну f'(x), наприклад, x = 7: f'(7) = 3(7)^2 - 6(7) - 72 f'(7) = 147 - 42 - 72 f'(7) = 33 > 0

На цьому інтервалі похідна дорівнює додатньому числу, тому функція f(x) зростає.

4. Висновок: Отже, з аналізу знаків похідної можемо зробити висновок щодо проміжків зростання і спадання, а також точок екстремуму:

• Функція f(x) зростає на інтервалах (-∞, -4) та (6, +∞).
• Функція f(x) спадає на інтервалі (-4, 6).
• Функція має точки екстремуму при x = -4 та x = 6.