Question

Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить неравенство 9log12(x^2-3x-4)≤10+log12((x+1)^9/(x-4))

Answer 1

$9log _{12}( x^{2} -3x-4) \leq 10+log _{12} \frac{(x+1) ^{9} }{x-4}$
Найдём ОДЗ:
$\left \{ {{ x^{2} -3x-4\ \textgreater \ 0} \atop { \frac{(x+1) ^{9} }{x-4}\ \textgreater \ 0 }} \right. \\\\(x-4)(x+1)\ \textgreater \ 0$
x ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (4 ; + ∞)

$log _{12}[(x-4)(x+1)] ^{9}-log _{12} \frac{(x+1) ^{9} }{x-4} \leq 10\\\\log _{12} \frac{(x-4) ^{9}(x+1) ^{9}(x-4) }{(x+1) ^{9} } \leq 10\\\\log _{12}(x-4) ^{10} \leq 10 \\\\10log _{12}(x-4) \leq 10\\\\log _{12}|x-4| \leq 1\\\\|x-4|-12 \leq 0\\\\(x-4-12)(x-4+12) \leq 0\\\\(x-16)(x-8) \leq 0$
x ∈ [- 8 ; 16]
С учётом ОДЗ , окончательный ответ:
x ∈ [- 8 ; - 1) ∪ (4 ; 16]

Answer 2

Здравствуйте!

Для решения данного неравенства, начнем с преобразования выражений с логарифмами. Заметим, что оба логарифма имеют основание 12, поэтому мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения неравенства.

1. Преобразуем левую часть неравенства: 9 * log₁₂(x² - 3x - 4) ≤ 10 + log₁₂((x + 1)⁹ / (x - 4))

   Применим свойство логарифма: a * log_b(c) = log_b(c^a) log₁₂((x² - 3x - 4)⁹) ≤ 10 + log₁₂((x + 1)⁹ / (x - 4))

2. Применим свойство логарифма: log_b(c / d) = log_b(c) - log_b(d) log₁₂((x² - 3x - 4)⁹) ≤ 10 + log₁₂((x + 1)⁹) - log₁₂(x - 4)

3. Применим свойство логарифма: log_b(c^a) = a * log_b(c) 9 * log₁₂(x² - 3x - 4) ≤ 10 + 9 * log₁₂(x + 1) - log₁₂(x - 4)

Теперь наша задача - решить полученное неравенство:

4. Перенесем все члены с логарифмами влево, а все остальные члены вправо: 9 * log₁₂(x² - 3x - 4) - 9 * log₁₂(x + 1) + log₁₂(x - 4) ≤ 10

5. Применим свойство логарифма: log_b(c) - log_b(d) = log_b(c / d) log₁₂((x² - 3x - 4)⁹ / (x + 1)⁹) + log₁₂(x - 4) ≤ 10

6. Применим свойство логарифма: log_b(c) + log_b(d) = log_b(c * d) log₁₂((x² - 3x - 4)⁹ * (x - 4)) ≤ 10

7. Используем свойство эквивалентности логарифма и показателя степени: log_b(c) ≤ a равносильно тому, что c ≤ b^a (x² - 3x - 4)⁹ * (x - 4) ≤ 12^10

8. Вычислим 12^10: 12^10 ≈ 61917364224

9. Теперь решим уравнение (x² - 3x - 4)⁹ * (x - 4) ≤ 61917364224

Для этого можно разбить неравенство на три части, так как мы знаем, что (x - 4) ≠ 0 (в противном случае, в левой части получили бы ноль, что не соответствует изначальному неравенству):

I. (x² - 3x - 4)⁹ < 61917364224 II. (x² - 3x - 4)⁹ = 61917364224 III. (x² - 3x - 4)⁹ > 61917364224

После нахождения решений для каждой из этих частей, нужно убедиться, что они удовлетворяют изначальному неравенству.

Такое решение достаточно сложное для выполнения вручную, поэтому вам могут понадобиться калькулятор или программное обеспечение для численного решения неравенства.