Question

Нехай x1 і x2 - нулі квадратичної функції y = 4x^2 - (3a + 2) x + a - 1. Знайти, при яких значеннях виконується нерівність x1 < 3 < x2.

Answer 1

Пусть x₁и x₂ - нули квадратичной функции y = 4x² - (3a + 2) x + a - 1. Найти, при каких значениях выполняется неравенство x₁ < 3 < x₂.

Решение.

Так как коэффициент перед x² больше 0(4>0), то ветви параболы направлены вверх. Точки x₁ и x₂ определяют нули функции в которых значение функции равно нулю(y(x₁) = y(x₂) = 0).

Исходя из этого можно сделать вывод, что при х = 3 значение функции меньше нуля.

y(3) < 0

y(3) = 4·3² - (3a + 2)·3 + a - 1 = 36 - 9a - 6 + a - 1 = 29 - 8a

29 - 8a < 0

8a > 29

a > 3,625

Поэтому для функции y = 4x² - (3a + 2) x + a - 1 неравенство x₁ < 3 < x₂ истинно для всех значених a∈(3,625;+∞)

Ответ: a∈(3,625;+∞)

Answer 2

Для знаходження значень параметра a, при яких виконується нерівність x1 < 3 < x2, спочатку потрібно знайти нулі квадратичної функції y = 4x^2 - (3a + 2)x + a - 1. Нулі квадратичної функції - це значення x, при яких функція дорівнює нулю.

Запишемо умову для нулів функції: 4x^2 - (3a + 2)x + a - 1 = 0

Далі, знайдемо дискримінант квадратного рівняння: Дискримінант (D) = b^2 - 4ac де b = -(3a + 2), a = 4, c = (a - 1)

D = (-(3a + 2))^2 - 4 * 4 * (a - 1) D = (9a^2 + 12a + 4) - (16a - 16) D = 9a^2 + 12a + 4 - 16a + 16 D = 9a^2 - 4a + 20

Тепер, щоб знайти значення параметра a, при яких існують різні нулі (x1 та x2), треба знайти такі значення a, для яких D > 0:

D > 0 9a^2 - 4a + 20 > 0

Тепер вирішимо нерівність:

9a^2 - 4a + 20 > 0 На кращий порозуміння помножимо кожний член нерівності на 4 (позбавимося від дробів): 36a^2 - 16a + 80 > 0

Тепер застосуємо метод ділення інтервалу, щоб знайти діапазони, для яких виконується нерівність.

1. Знайдемо вершину параболи за допомогою формули: a = -b / (2c) a = -(-16) / (2 * 36) = 16 / 72 = 1/4

2. Подамо a як десятковий дріб: a = 0.25

Тепер підставимо a = 0.25 в нерівність, щоб дізнатися, які значення виконують її: 36(0.25)^2 - 16(0.25) + 80 > 0 36 * 0.0625 - 4 + 80 > 0 2.25 - 4 + 80 > 0 78.25 > 0

Отже, ми бачимо, що нерівність виконується для всіх значень a.

Таким чином, нерівність x1 < 3 < x2 виконується для будь-якого значення параметра a. Немає обмежень для параметра a, при яких б нерівність стала невірною.